Сколько пульпы прошло через расходомер за смену, если есть только замеры каждые 10 минут? Тяни точки, сравнивай прямоугольники, трапеции и Симпсона и смотри, как падает ошибка.
Счетчик электроэнергии сломался, а в журнале диспетчера есть мощность привода каждые 10 минут. Сколько энергии взял конвейер за час? Энергия это площадь под графиком мощности, как в теме «Интеграл». Только формулы мощности нет, есть семь чисел. Соединим соседние точки отрезками и сложим площади трапеций. Если вместо отрезков провести через каждые три точки параболу, ответ станет еще точнее при тех же замерах. Это метод Симпсона.
ⓘ «Точный» ответ посчитан по настоящей кривой с 4096 интервалами. Перетаскивание добавляет к кривой плавный горб в этом месте, поэтому кривая и замеры всегда согласованы.
Трапеции соединяют замеры отрезками. Симпсон проводит через каждые три замера параболу. Порядок ошибки говорит, во сколько раз точнее станет ответ, если замерять вдвое чаще. Под каждой формулой числа из опыта.
Как сложить замеры в площадь?
Площадь трапеции: средняя высота на ширину, h · (yᵢ + yᵢ₊₁) / 2. Складываем все трапеции. Каждый внутренний замер входит в две соседние трапеции, поэтому берется целиком, а крайние только наполовину.
Как точнее по тем же замерам?
Через каждые три соседних замера проводим параболу и берем площадь под ней точно: h / 3 · (yᵢ + 4yᵢ₊₁ + yᵢ₊₂). Средняя точка пары весит в 4 раза больше крайних. Где пары стыкуются, веса складываются, отсюда двойки.
Во сколько раз точнее при частых замерах?
У трапеций ошибка пропорциональна h²: замеры вдвое чаще, ошибка в 4 раза меньше. У Симпсона пропорциональна h⁴: в 16 раз меньше. У прямоугольников по левому краю только h: в 2 раза. На правом графике это прямые с наклоном 1, 2 и 4.
Трапеции заменяют кривую на каждом интервале прямой через два замера. Прямая не видит изгиб, и на одном интервале ошибка равна примерно h³ · f″ / 12. Интервалов (b − a) / h, поэтому общая ошибка порядка h² · (b − a) · f″ / 12. Где кривая выпуклая вверх, хорды проходят под ней, и трапеции занижают; где вниз, завышают.
Симпсон через три точки на расстояниях −h, 0, h проводит параболу y = A + B · u + C · u². Интеграл от −h до h равен 2Ah + 2Ch³ / 3, член с B сокращается. Подставляем A = y₁ и C = (y₀ − 2y₁ + y₂) / (2h²) и получаем h / 3 · (y₀ + 4y₁ + y₂). Парабола точно повторяет любую кубическую кривую на паре интервалов, поэтому ошибка начинается только с четвертой производной: порядок h⁴.
Эти же формулы стоят внутри методов решения уравнений. Если правая часть зависит только от t, метод Хойна совпадает с трапециями, а Рунге-Кутта 4 с Симпсоном. Сравни с темой «Метод Эйлера»: там ошибки тоже ~ h, h² и h⁴.
Расходомер на пульпопроводе передает мгновенный расход в м³/ч в систему диспетчеризации раз в минуту. Объем за смену система считает трапециями по этим замерам. Если связь пропадала, пропуск закрывают интерполяцией, и ошибка заметно растет.
По журналу мощности конвейера, мельницы или насоса считают потребленную энергию в кВт·ч и удельный расход на тонну руды. По той же площади сравнивают режимы работы и находят, где привод работает вхолостую.
Бортовой контроллер самосвала или экскаватора записывает расход топлива по CAN-шине с шагом в секунды. Суммарный расход за смену это интеграл. Его сверяют с заправками, чтобы найти утечки и неправильную работу датчиков.
Система диспетчеризации карьера получает скорость самосвала и считает пройденный путь как площадь под графиком скорости. Пробег идет в учет ресурса шин и в план ТО по километражу.
Маркшейдер замеряет глубину или высоту борта через равные расстояния и считает площадь поперечного сечения Симпсоном. Объем выемки и отвала получают так же, интегрируя площади сечений по длине.
Усталостный износ зависит не от часов, а от нагрузки. По журналу давления в гидросистеме или тока двигателя считают интеграл нагрузки за смену и сравнивают с нормой. Так подшипник или гидроцилиндр меняют по фактической выработке ресурса.
Замеры идут через равный шаг и без погрешности датчика. На практике у каждого замера есть шум, и Симпсон не помогает против шума: при шумных данных трапеции часто надежнее. Порядок h² и h⁴ работает, когда кривая плавная и шаг мельче ее изгибов. Если процесс резко меняется между замерами, например насос включился и выключился за 5 минут при опросе раз в 10 минут, никакой метод этого не увидит: нужно замерять чаще. Прямоугольники в опыте взяты по левому краю, как в простом счетчике, который держит последнее показание до следующего замера.