Как по графику скорости узнать путь, а по расходомеру объем? Дели площадь под кривой на прямоугольники и смотри, как сумма приближается к точному ответу.
Если самосвал 10 секунд едет со скоростью 10 м/с, он проходит 10 · 10 = 100 м. На графике скорости это площадь прямоугольника. Когда скорость меняется, график делят на узкие полоски, считают площадь каждой и складывают. Так по графику скорости находят путь, а по показаниям расходомера находят, сколько масла или топлива выдано.
ⓘ Точное значение считается по формуле Ньютона-Лейбница через первообразную. Сумма прямоугольников считается так же, как контроллер расходомера или тахограф суммируют замеры через равные промежутки времени.
Сумма прямоугольников дает приближенный ответ, его можно посчитать по любым замерам. Предел суммы это точная площадь. Формула Ньютона-Лейбница позволяет найти ее без суммирования. Под каждой формулой числа из опыта.
Как посчитать площадь приближенно?
Делим отрезок на n равных полосок. В каждой берем высоту графика в одной точке и умножаем на ширину. Площади всех полосок складываем.
Как получить точную площадь?
Чем уже полоски, тем меньше зазоры между ступеньками и кривой. Предел, к которому идет сумма при бесконечно узких полосках, называют определенным интегралом.
Как найти интеграл без суммирования?
Найди функцию F, производная которой равна f. Это первообразная. Площадь под f от a до b равна разности значений F на концах. Так счетчик пробега дает путь: показание в конце минус показание в начале.
Пока скорость постоянна, путь равен v · t, и на графике это площадь прямоугольника. Если скорость меняется, возьмем короткий промежуток Δt. За него скорость почти не успевает измениться, и путь почти равен v · Δt, то есть площади узкой полоски. Сложим все полоски и получим путь за весь рейс. Чем короче Δt, тем точнее.
Теперь сдвинем правую границу площади от x на маленький шаг dx. Площадь вырастет на узкую полоску высотой f(x) и шириной dx: dA = f(x) · dx. Значит, скорость роста площади A′(x) = f(x). Площадь сама является первообразной функции. Любые две первообразные отличаются на постоянную, поэтому площадь от a до b равна F(b) − F(a).
Тахограф и бортовой контроллер самосвала пишут скорость несколько раз в секунду. Пробег за смену получают как сумму v · Δt по всем замерам, то есть как интеграл скорости по времени.
Расходомер на раздаточном пистолете или топливозаправщике измеряет расход в л/мин. Счетчик литров суммирует расход за каждый короткий интервал. Итог выдачи масла или топлива это интеграл расхода.
Работа силы равна площади под графиком силы по ходу штока: A = ∫ F dx. Если давление в цилиндре меняется по ходу, работа равна ∫ p · S dx, где S площадь поршня.
Счетчик электроэнергии интегрирует мощность по времени. Площадь под графиком нагрузки в кВт за смену в часах дает расход в кВт·ч, по нему считают затраты на дробилку или насосную станцию.
Площадь сечения балки или профиля сложной формы считают интегралом ширины по высоте. Центр тяжести детали или груза в кузове находят как интеграл координаты, умноженной на площадь или массу, деленный на всю массу.
Моточасы двигателя накапливаются только при работе, а износ быстрее растет под нагрузкой. Накопленный износ считают интегралом темпа износа по времени и по нему планируют замену деталей до отказа.
В опыте функции заданы формулами, и для каждой известна первообразная, поэтому точное значение считается по формуле Ньютона-Лейбница. Площадь ниже оси x входит в интеграл со знаком минус: для синуса на [0, 2π] интеграл равен нулю, хотя закрашенная площадь не нулевая. Скорость самосвала и расход масла упрощены: реальный график снимается датчиком с шумом, и его интегрируют численно, суммой прямоугольников или трапеций по замерам. У трапеций ошибка обычно меньше, чем у левых и правых точек, а средние точки дают примерно такую же точность, как трапеции.