Линейная и логарифмическая шкала
Почему на одних графиках деления идут 1, 2, 3, а на других 1, 10, 100. Одни и те же данные на двух шкалах: давление, шум в децибелах, размеры от атома до Земли.
Почему ось бывает «сжатой»?
РАЗБОР ФОРМУЛЫ
Что такое логарифм
- x
- Само значение: давление, громкость, размер. Всегда больше нуля: логарифма нуля и отрицательных чисел нет, поэтому на логарифмической шкале нет нуля.
- 10
- Основание. Мы спрашиваем, сколько раз надо умножить 10 само на себя, чтобы получить x. Бывают и другие основания: 2 в информатике, число e ≈ 2,718 в физике.
- n
- Логарифм, ответ на вопрос «10 в какой степени?». Для 1000 это 3, для 0,01 это −2. Грубо говоря, логарифм считает нули в числе.
- порядок
- Десятикратный шаг, от 1 до 10, от 10 до 100 и так далее. На логарифмической шкале все порядки занимают одинаковую длину.
Числа из опыта сейчас
Главная разница
На линейной шкале одинаковые отрезки означают одинаковую разницу: от 0 до 100 столько же места, сколько от 100 до 200. Это удобно, когда все значения одного порядка и важно, на сколько одно больше другого: температура в цехе, длина детали, расход топлива по дням.
На логарифмической шкале одинаковые отрезки означают одинаковое отношение: от 1 до 10 столько же места, сколько от 10 до 100 и от 100 до 1000. Умножение превращается в сдвиг на постоянное расстояние, это и записано в формуле log(a · b) = log a + log b. Такая шкала нужна, когда данные отличаются в тысячи и миллионы раз, или когда важно, во сколько раз одно больше другого.
Как читать: на логарифмической оси не ищи равных промежутков между числами. Смотри на крупные метки 1, 10, 100, а мелкие штрихи между ними означают 2, 3, 4 … 9, и они стоят все теснее к следующей метке.
Где это встречается
- Децибелы. Уровень шума L = 10 · log₁₀(I / I₀). Каждые +10 дБ означают звук в 10 раз мощнее, +3 дБ примерно вдвое. Поэтому 100 дБ перфоратора не «на четверть громче» 80 дБ улицы, а в 100 раз мощнее, и нормы средств защиты слуха считают именно так.
- Фазовая диаграмма. В опыте «Состояния вещества: вода» давление идет от 0,0001 до 300 бар. На линейной оси вся область льда и пара сжалась бы в линию у нуля.
- Усталость металла. Кривую Велера строят по числу циклов от 10³ до 10⁸. Так видно, сколько циклов выдержит вал или сварной шов при данном напряжении.
- pH и землетрясения. pH 4 в 10 раз кислее pH 5. Землетрясение на 1 балл по Рихтеру сильнее в 10 раз по амплитуде. Шкалы, которые придумали люди для огромных диапазонов, почти всегда логарифмические.
Как понять, какую шкалу брать+
Возьми отношение самого большого значения к самому маленькому. Если оно меньше 10–20, бери линейную шкалу: она привычнее и честно показывает разницу. Если больше 100, почти наверняка нужна логарифмическая, иначе мелкие значения сольются у нуля. Еще один признак: если явление растет «в разы» (размножение бактерий, рост цен, накопление отказов), на логарифмической шкале оно выглядит прямой линией, и по наклону сразу видна скорость роста. В Excel это включается в настройках оси: «Логарифмическая шкала».
ⓘ Значения в наборах округлены и приведены для наглядности порядков.