Метршток показал 100 см, а в таблице бака есть только 80 и 120. Тащи точки таблицы и сравни три способа найти значение между строками: отрезок, многочлен и сплайн.
В паспорте насоса, в калибровке бака, в таблице вязкости масла данные даны с шагом: 40 см, 80 см, 120 см. А метршток показал 100 см. Сколько в баке литров? Нужно провести через табличные точки линию и снять с нее ответ. Можно соединить соседние точки отрезками, можно провести один гладкий многочлен через все точки, можно склеить гладкую кривую из кусочков. Ответы будут разными, и важно понимать, какой способ где врет.
ⓘ Бак: горизонтальный цилиндр диаметром 2 м и длиной 4 м, объем считается по площади сегмента круга. Вязкость: масло ISO VG46, 46 сСт при 40 °C и 6,8 сСт при 100 °C, промежуточные значения по формуле Вальтера. Насос: условная характеристика H = 52 − 0,02Q − 0,0016Q². Сплайн естественный: на концах таблицы кривизна равна нулю.
Три способа заполнить промежутки таблицы, от самого простого к самому аккуратному. Под каждой формулой числа из опыта для выбранного x.
Что между двумя соседними строками?
Берем две ближайшие строки и проводим между ними прямую. Дробь справа показывает, какую долю пути от x₀ до x₁ мы прошли. Ту же долю проходит и y.
Как провести одну кривую через все точки?
Для каждого узла строим вспомогательный многочлен ℓₖ: он равен 1 в своем узле и 0 во всех остальных. Умножаем его на yₖ и складываем. В каждом узле выживает ровно одно слагаемое, поэтому кривая проходит через все точки.
Как сделать гладко и без раскачки?
На каждом промежутке свой кубический многочлен. Их склеивают так, чтобы в узлах совпадали значение, наклон и кривизна. Как гибкая линейка, которую чертежник прижимал гвоздиками к точкам: отсюда и название, spline значит лекало.
Базисный многочлен ℓₖ обязан быть равен нулю во всех чужих узлах. Если узлов 11, у него 10 корней, и между ними он вынужден колебаться. У середины таблицы колебания маленькие, а у краев, где с одной стороны узлов уже нет, их ничто не сдерживает, и размах растет. Рисунок справа показывает три базисных многочлена для узлов 0, 1, 2: каждый равен 1 в своем узле и 0 в двух других.
В сумме L(x) = Σ yₖ · ℓₖ(x) большие колебания отдельных слагаемых должны погасить друг друга. Пока точки лежат на гладкой кривой, это почти получается. Но небольшой сдвиг одной точки, ошибка замера или округление, сразу дает волну у краев. Это и есть эффект Рунге.
Сплайн устроен иначе: каждый кусок зависит в основном от ближайших точек. Сдвинь одну точку, и кривая изменится рядом с ней, а вдали почти нет. Поэтому для таблиц с большим числом строк берут сплайн или просто ломаную, а один многочлен только по 3-4 точкам.
Для каждого бака склада ГСМ и топливозаправщика есть градуировочная таблица: уровень в сантиметрах и объем в литрах. Между строками объем считают линейной интерполяцией. Система учета делает это сама при каждом замере уровнемером.
Вязкость масла дана в паспорте при 40 °C и 100 °C. Чтобы понять, прокачается ли гидравлика экскаватора при −20 °C на перевале, значения между точками находят по специальной шкале, на которой зависимость близка к прямой.
Характеристика насоса водоотлива задана несколькими точками из паспорта. Через них проводят гладкую кривую и ищут, где она пересечет характеристику трубопровода. Так узнают реальную подачу и напор.
Датчик давления или температуры поверяют в нескольких точках и записывают поправки в таблицу. Контроллер между точками поправку интерполирует. Если таблица длинная, берут ломаную: она не дает выбросов между точками.
Блок управления дизелем хранит подачу топлива и угол впрыска в таблицах по оборотам и нагрузке. Между клетками таблицы значения интерполируются сразу по двум переменным, сотни раз в секунду.
Плавные контуры кузова, лопатки насоса, профиль ковша задают несколькими точками и сплайном. Станок с ЧПУ режет по сплайну, а не по ломаной, поэтому поверхность получается гладкой без лишней полировки.
Значения в таблицах точные, без ошибки замера. Если замеры шумят, проводить кривую точно через точки плохо: она будет повторять шум. Тогда кривую подбирают так, чтобы она шла рядом с точками, а не через них, см. тему «Метод наименьших квадратов». Строки таблицы в опыте сначала идут с равным шагом; при перетаскивании шаг становится неравным, формулы работают и так. Значения считаются только внутри таблицы: за ее краями кривые не продолжаются.