Почему длинным ключом гайку открутить легче, а стрела экскаватора поднимает тонны? Сила, плечо и момент силы.
Попробуй открутить прикипевшую гайку коротким ключом, а потом длинным. Сила рук та же, а результат разный. Вращающее действие силы называют моментом силы M. Он равен силе F, умноженной на плечо d: кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.
Важно именно кратчайшее расстояние, то есть перпендикуляр. Если тянуть ключ под углом, плечо становится короче длины ключа, и момент падает. А если тянуть вдоль ключа, плечо равно нулю и гайка не повернется совсем, сколько ни старайся.
ⓘ Ключ и рычаг жесткие и невесомые, все силы лежат в одной плоскости. Момент против часовой стрелки считаем со знаком плюс, по часовой со знаком минус. Наклон рычага-весов на рисунке только показывает, куда он повернется; настоящий рычаг без упора повернулся бы до конца.
Первые две карточки берут числа из режима «Ключ и одна сила», третья из режима «Рычаг-весы». Двигай ползунки, и подстановка пересчитается.
Насколько сильно сила поворачивает тело?
Момент силы равен силе, умноженной на плечо. Та же сила на вдвое большем плече дает вдвое больший момент. Поэтому на тугие гайки надевают трубу-удлинитель.
Какое плечо, если тянуть под углом?
Плечо равно расстоянию до точки приложения, умноженному на синус угла между рычагом и силой. Под прямым углом sin α = 1 и плечо самое большое. Вдоль рычага sin α = 0, и сила не крутит.
Когда рычаг в равновесии?
Рычаг не поворачивается, если моменты, которые крутят его против часовой, равны моментам по часовой. Иначе говоря, сумма всех моментов со знаками равна нулю. Малая сила на длинном плече уравновешивает большую силу на коротком.
Разложим силу F на две части, как скорость в теме 1.2. Одна часть F · cos α направлена вдоль рычага: она тянет ключ от гайки или давит на нее, но повернуть не может, ведь ее линия проходит прямо через ось. Другая часть F · sin α направлена поперек рычага, и только она крутит. Ее плечо равно всей длине r, поэтому M = F · sin α · r.
Ту же формулу можно прочитать иначе. Опустим из оси перпендикуляр на линию действия силы. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой r и углом α, его катет d = r · sin α. Тогда M = F · d. Оба способа дают одно и то же число, выбирай удобный.
Правило равновесия следует из работы. Повернем рычаг на малый угол φ. Конец длинного плеча пройдет путь d₁ · φ, короткого d₂ · φ. Рычаг не создает энергию, поэтому работы равны: F₁ · d₁ · φ = F₂ · d₂ · φ, отсюда F₁ · d₁ = F₂ · d₂. Во сколько раз выигрываешь в силе, во столько же раз проигрываешь в расстоянии. Это и есть «золотое правило механики».
Гайки колес, болты головки блока и ступиц затягивают не «покрепче», а заданным моментом. Динамометрический ключ щелкает, когда M = F · d достигает настройки. Перетянешь, и шпилька вытянется, недотянешь, и колесо самосвала может отвернуться в рейсе.
Гидроцилиндр толкает стрелу не в шарнире, а на некотором расстоянии от него. Момент цилиндра равен его силе на плече до шарнира, а плечо меняется с углом стрелы, как d = r · sin α в опыте. Поэтому в одних положениях ковш копает сильнее, чем в других.
Груз на крюке создает опрокидывающий момент относительно ребра опоры, противовес и масса крана создают удерживающий. Кран устойчив, пока удерживающий момент заметно больше. Отсюда таблица грузоподъемности: чем дальше вылет стрелы, тем меньше допустимый груз.
Педаль тормоза и рычаг стояночного тормоза устроены как рычаги: нога давит на длинное плечо, а короткое плечо с большей силой толкает шток. Водитель нажимает с силой в несколько сотен ньютонов, а на штоке получается в разы больше.
Подложил камень близко к грузу, и короткое плечо стало совсем маленьким. Рука на длинном конце двигается на полметра, а груз приподнимается на пару сантиметров, зато сила выигрывается в десятки раз. Это золотое правило механики в чистом виде.
У тачки ось колеса служит опорой: груз ближе к оси, руки дальше, поэтому поднять 100 кг можно силой в 30 кг. Безмен взвешивает так же, как рычаг-весы в опыте: гирю двигают, пока моменты не сравняются, и по ее положению читают массу.
Ключ и рычаг считаются жесткими и невесомыми, все силы лежат в одной плоскости, ускорение свободного падения g = 9,81 м/с². Трение в резьбе и под гайкой не учитывается, хотя на деле именно оно забирает большую часть момента затяжки. Моменты затяжки в готовых случаях примерные: для конкретной машины смотри руководство по обслуживанию. У рычага-весов плечо груза при наклоне немного укорачивается, но у всех грузов в одинаковое число раз, поэтому условие равновесия от наклона не зависит. Как момент силы раскручивает тело, расскажет динамика вращения, темы 3.4 и 3.5.