Сложное движение и ускорение Кориолиса

Шарик катится по вращающемуся диску прямо, а след на диске выходит кривым. Относительное, переносное движение и ускорение Кориолиса.

01 Что это такое

Шарик катится по пазу вращающегося диска прямо. А с земли его след выглядит спиралью.

Движение точки на подвижном теле складывается из двух. Относительное движение: как точка движется по самому телу (шарик едет по пазу). Переносное движение: куда точку несет тело (диск крутится и тащит шарик по кругу). Скорость относительно земли равна сумме этих двух скоростей, сложенных как стрелки.

С ускорением интереснее. Кроме ускорения тела и ускорения по пазу, появляется третье: ускорение Кориолиса. Чтобы шарик шел по пазу ровно, стенка паза должна все время толкать его вбок. Если стенки нет, как у реки или у ветра, движение уходит в сторону.

Точки: где шарик через равные промежутки времени. По пазу он проходит одинаковые отрезки, а диск за это время поворачивается на три четверти оборота. Чем дальше от оси, тем длиннее шаги на спирали.

v_отн: Относительная скорость, м/с. Скорость по самому телу: шарика по пазу, груза по стреле крана, человека по карусели.
v_пер: Переносная скорость, м/с. Скорость той точки тела, где сейчас находится шарик. Для вращения v_пер = ω · r, как в теме 1.3.
a_кор: Ускорение Кориолиса, м/с². Добавка, которая появляется, когда точка движется по вращающемуся телу: a_кор = 2 · ω · v_отн. Направлено поперек движения.

02 Опыт

Крути диск. Пускай шарик. Сравнивай два взгляда. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ

КИНЕМАТИКА

Почему шарик давит на стенку паза, если едет по нему прямо?

Рис. 1.6

ГОТОВЫЕ СЛУЧАИ

Шарик едет по пазу равномерно: r растет по прямой, v_отн постоянна. Переносная скорость растет вместе с r. Ускорение Кориолиса не зависит от r: оно одинаково у оси и на краю.

Переносная скорость, v_пер

Скорость относительно земли, v

Ускорение Кориолиса, a_кор

ⓘ Диск вращается равномерно, шарик идет по пазу с постоянной скоростью, трения нет. Диск на рисунке всегда одного размера, настоящая длина паза указана в числах. Стрелка ускорения Кориолиса показывает направление, ее длина не в масштабе.

03 Формулы по буквам

Скорости складываются, а у ускорений появляется лишнее слагаемое

Первая формула складывает скорости, вторая находит переносную скорость, третья дает ускорение Кориолиса и силу, с которой стенка паза давит на шарик. Числа под формулами из опыта.

Какая скорость у шарика относительно земли?

v = v_отн + v_пер
|v| = √(v_отн² + v_пер²)

Скорость относительно земли равна сумме двух стрелок: своей скорости по телу и скорости, с которой тело несет точку. В пазу диска эти стрелки перпендикулярны, поэтому длину суммы находим по теореме Пифагора.

v: абсолютная скорость, относительно земли, м/с
v_отн: относительная скорость, по пазу или по стреле, м/с
v_пер: переносная скорость, м/с
+: сложение стрелок, а не чисел. Если стрелки смотрят в одну сторону, длины просто складываются

Как быстро диск несет шарик?

v_пер = ω · r
ω = 2π · n / 60

Переносная скорость это скорость той точки диска, над которой сейчас шарик. Она та же, что у точки на окружности в теме 1.3, только радиус r все время меняется: шарик едет по пазу.

ω: угловая скорость диска, рад/с
r: расстояние от оси до шарика сейчас, м
n: обороты диска, об/мин

Какое ускорение Кориолиса и с какой силой давит стенка?

a_кор = 2 · ω · v_отн · sin α
N = m · a_кор

Ускорение Кориолиса растет вместе с оборотами и со скоростью по пазу, а от расстояния до оси не зависит. Направлено поперек паза. Создать его может только стенка: она давит на шарик с силой N.

a_кор: ускорение Кориолиса, м/с²
α: угол между осью вращения и направлением v_отн. Для диска с пазом 90°, для реки равен широте
2: двойка из двух одинаковых эффектов, разбор ниже
N: сила давления стенки на шарик, Н

Откуда берется двойка в 2 · ω · v_отн

Полное ускорение шарика складывается из трех частей: a = a_отн + a_пер + a_кор. В нашем опыте a_отн = 0, шарик едет по пазу равномерно. a_пер = ω² · r это центростремительное ускорение точки диска из темы 1.3. Остается разобраться, откуда третье слагаемое.

Первый эффект: поворот. Стрелка v_отн лежит вдоль паза, а паз поворачивается вместе с диском. За время Δt она повернется на угол ω · Δt, и ее конец сдвинется вбок на v_отн · ω · Δt. Это изменение скорости, поделенное на Δt, дает ω · v_отн.

Второй эффект: удаление от оси. За время Δt шарик сместится по пазу на Δr = v_отн · Δt. Переносная скорость ω · r вырастет на ω · Δr = ω · v_отн · Δt. Еще одна добавка ω · v_отн, и смотрит она в ту же сторону.

Вместе получаем 2 · ω · v_отн. Если шарик едет к центру, оба эффекта меняют знак, и стенка давит с другой стороны. Проверь это переключателем «Куда едет».

Оба эффекта сдвигают скорость в одну сторону на ω · v_отн · Δt. В сумме получается 2 · ω · v_отн.

04 Где и зачем это применяют

От поворотного крана до расходомера на складе ГСМ

Поворотные краны и манипуляторы
Если крановщик выдвигает груз по стреле или подтягивает его к себе во время поворота, на груз действует ускорение Кориолиса поперек стрелы, и груз начинает раскачиваться. Поэтому операции поворота и выдвижения стараются не совмещать, а у роботов-манипуляторов эту добавку закладывают в программу управления.
Кулисные механизмы
В строгальных и долбежных станках ползун скользит по вращающейся кулисе. Сила Кориолиса прижимает его к одной из направляющих, и именно по ней рассчитывают износ и нагрузку на кулисный камень. Сторона прижима меняется на рабочем и холостом ходу.
Центробежные насосы и вентиляторы
Жидкость в насосе движется по каналу между лопатками от центра к краю, а колесо вращается. Лопатка давит на жидкость поперек канала, и как раз эта сила Кориолиса передает жидкости энергию. Шламовые и водоотливные насосы на руднике работают по тому же принципу.
Гироскопы и датчики MEMS
В телефоне, дроне и навигации карьерного самосвала стоит крошечный вибрационный датчик угловой скорости. Внутри грузик качается туда-сюда, а при повороте корпуса сила Кориолиса отклоняет его вбок. По этому отклонению датчик и измеряет ω.
Расходомеры Кориолиса
Топливо или масло течет через вибрирующую трубку. Из-за ускорения Кориолиса входная и выходная половины трубки качаются со сдвигом во времени, и по этому сдвигу прибор точно считает массу, а не объем. Такие расходомеры ставят на складах ГСМ и на раздаче топлива технике.
Ветра, течения и берега рек
Земля вращается с ω = 7,29·10⁻⁵ рад/с. Для движущегося воздуха и воды это дает слабое, но непрерывное ускорение вбок: в северном полушарии вправо по ходу. Так закручиваются циклоны, отклоняются пассаты, а реки, текущие на север или юг, сильнее подмывают правый берег.

Допущения модели+

Диск вращается с постоянной угловой скоростью, шарик идет по пазу с постоянной относительной скоростью, трения и силы тяжести вдоль паза нет. Поэтому сила стенки в опыте равна только m · a_кор; переносное центростремительное ускорение ω² · r направлено вдоль паза и обеспечивается тем, что держит шарик на постоянной скорости (толкатель, канат, двигатель). Для реки модель грубая: вода течет по прямому руслу длиной L, а угол α между осью Земли и течением принят равным широте, как для реки, текущей на север. Для реки, текущей на восток или запад, ускорение Кориолиса направлено иначе, но в горизонтальной плоскости его составляющая та же: 2 · ω · v · sin(широты). Числа в готовых случаях примерные и показывают порядок величин.

Еще в направлении «Механика»

Все темы направления «Механика» →