Почему с горки диск скатывается быстрее кольца той же массы, а мельницу разгоняют десятки секунд? Момент инерции и второй закон Ньютона для вращения.
Чтобы разогнать тележку, нужна сила, и чем больше масса, тем медленнее разгон: F = m · a, тема 3.1. Чтобы раскрутить колесо, нужен момент силы из темы 2.1, а мешает ему момент инерции J. Каждый кусочек тела добавляет в J свою массу, умноженную на квадрат расстояния до оси: J = Σ m · r². Груз в два раза дальше от оси мешает раскрутке в четыре раза сильнее.
Посмотри на две гантели справа. Масса у них одинаковая, момент тоже. Но у второй грузы сдвинуты к концам, и ее J в 16 раз больше. За полсекунды первая повернулась почти наполовину оборота, а вторая едва сдвинулась.
ⓘ В гонке тела катятся без проскальзывания и без сопротивления качению, дорожки нарисованы развернутыми вдоль склона. В разгоне ротора момент двигателя постоянный, трение в подшипниках учтено в нем. Рисунки не в масштабе, настоящие размеры указаны подписями.
Вращение устроено как движение по прямой из темы 3.1: вместо силы момент силы, вместо массы момент инерции, вместо ускорения угловое ускорение. Первая формула объясняет, откуда берется J, вторая, как он мешает разгону, третья помогает считать J, когда масса стоит не на оси. Числа под формулами из опыта.
Чему равен момент инерции тела?
Разбей тело на маленькие кусочки, массу каждого умножь на квадрат его расстояния до оси и все сложи. Для простых тел сумма уже посчитана: J = k · m · R², и меняется только коэффициент формы k.
Как быстро момент раскрутит тело?
Момент силы равен моменту инерции, умноженному на угловое ускорение. Это F = m · a для вращения. Отсюда ε = M / J: при том же моторе тело с вдвое большим J разгоняется вдвое дольше.
Как найти J, если ось проходит не через центр?
Теорема Штейнера. Возьми момент инерции тела вокруг его собственного центра и добавь массу, умноженную на квадрат расстояния от центра до оси. Так считают грузы на спицах, лопатки на роторе и катящееся колесо, которое поворачивается вокруг точки касания.
Раскрути тело и посмотри на его кусочки. Все они поворачиваются с одной угловой скоростью ω, но точка на расстоянии r от оси движется со скоростью v = ω · r, как в теме 1.3. Чем дальше кусочек, тем быстрее он летит.
Кинетическая энергия всего тела равна сумме энергий кусочков: Σ m · v² / 2. Подставь v = ω · r: получится Σ m · (ω · r)² / 2 = (Σ m · r²) · ω² / 2. Сумма в скобках и есть момент инерции, поэтому E = J · ω² / 2. Сравни с E = m · v² / 2: J стоит на месте массы. Квадрат r появился потому, что дальний кусочек и летит быстрее, и энергия его растет как квадрат скорости.
Теперь гонка. Тело скатилось с высоты h, и энергия m · g · h разделилась: часть ушла в движение вперед m · v² / 2, часть во вращение J · ω² / 2. При качении ω = v / R, поэтому m · g · h = m · v² / 2 · (1 + k), где k = J / (m · R²). Чем больше k, тем больше энергии уходит во вращение и тем медленнее тело едет. Отсюда a = g · sin α / (1 + k): масса и радиус сокращаются, остается только форма.
| Тело | J | k = J / (m · R²) |
|---|---|---|
| кольцо, тонкий обод | m · R² | 1 |
| полый шар | 2/3 · m · R² | 0,67 |
| диск, сплошной цилиндр | m · R² / 2 | 0,5 |
| сплошной шар | 2/5 · m · R² | 0,4 |
| стержень вокруг середины | m · L² / 12 | ось через центр |
| Чем больше k, тем больше массы на краю и тем труднее раскрутить тело | ||
Барабан шаровой мельницы вместе с шарами и рудой весит сотни тонн, и почти вся масса далеко от оси. Его J огромен, поэтому пуск длится десятки секунд. По J и нужному времени разгона выбирают двигатель, устройство плавного пуска и муфту, чтобы они не перегрелись за время пуска.
Маховик специально делают с массой на ободе: при том же весе J больше. Он запасает энергию J · ω² / 2 и отдает ее в момент удара пресса или такта двигателя, сглаживая обороты. Подробно об этом в теме 3.5.
Шина карьерного самосвала весит несколько тонн, и ее масса на большом радиусе. При разгоне двигатель тратит момент не только на машину, но и на раскрутку колес, а тормоза гасят и эту энергию. Поэтому в расчете разгона и торможения к массе машины добавляют «вращающуюся массу» колес.
У рабочего колеса вентилятора главного проветривания шахты лопатки далеко от оси, и J большой. Его учитывают при выборе двигателя и времени пуска, а также при аварийном останове: чем больше J, тем дольше выбег и тем мощнее нужен тормоз.
Фигурист во вращении прижимает руки к телу, его J уменьшается, и он крутится быстрее. Без внешнего момента сохраняется произведение J · ω: меньше J, больше ω. Гимнаст группируется в сальто по той же причине, а прыгун в воду выпрямляется перед входом, чтобы замедлить вращение.
Быстро вращающийся ротор с большим J трудно развернуть: на это нужен большой момент. На этом работают гирокомпасы, системы стабилизации камер, судов и спутников. Чем больше J и обороты, тем устойчивее ось.
В гонке тела катятся без проскальзывания, сопротивление качению и воздуха не учитывается. Чтобы тело не скользило, трение должно быть достаточным: коэффициент трения не меньше k / (1 + k) · tg α. На крутом склоне первым начинает скользить кольцо, тогда формула гонки перестает работать. В разгоне ротора момент двигателя считается постоянным, хотя у настоящего асинхронного двигателя он меняется с оборотами. Грузы на спицах считаются короткими цилиндрами радиусом R / 10, а масса спиц не учитывается. Барабан мельницы и шина посчитаны как кольцо: у настоящей шины часть массы ближе к оси, и k около 0,8. Числа в готовых случаях примерные: J мельницы взят без руды и шаров, а у барабана конвейера не учтены лента и груз, которые в жизни растягивают пуск до десятков секунд.