Сколько энергии нужно, чтобы поднять 220 тонн руды со дна карьера, и куда она девается на спуске? Работа, энергия, мощность и КПД.
Подними тележку на горку, и она запасет потенциальную энергию Ep = m · g · h. Отпусти, и на спуске высота превращается в скорость: растет кинетическая энергия Ek = m · v² / 2. На подъеме все идет обратно. Без трения сумма Ep + Ek не меняется, это закон сохранения энергии.
С трением часть энергии уходит в тепло Q: греются колеса, тормоза, дорога. Сумма Ep + Ek + Q все равно постоянна. Работа A = F · s · cos α говорит, сколько энергии сила передала телу, а мощность P = A / t говорит, как быстро она это сделала.
ⓘ Скорость на подъеме и спуске постоянна, разгон и остановка не учитываются. Серпантин и карьер нарисованы условно, настоящая длина дороги равна H / sin α и указана в числах. КПД дизеля принят 40 %, теплота сгорания дизеля 36 МДж/л. На горке трение считается сухим: сила трения μ · m · g · cos α против движения.
Числа под формулами берутся из текущего режима опыта: подъема, спуска или горки. Двигай ползунки или время, и подстановка пересчитается.
Сколько энергии передала сила?
Работа равна силе, умноженной на путь и на косинус угла между ними. Сила вдоль пути работает полностью, поперек пути не работает совсем, против движения работает со знаком минус и забирает энергию, как тормоз.
Сколько энергии запасено в высоте и в скорости?
Потенциальная энергия растет с высотой, кинетическая с квадратом скорости. Без трения их сумма постоянна: Ep + Ek = const. С трением к сумме добавляется тепло Q, и тогда постоянна Ep + Ek + Q.
Как быстро и с какой пользой работает машина?
Мощность равна работе за секунду, или силе, умноженной на скорость. Та же работа за вдвое меньшее время требует вдвое большей мощности. КПД показывает, какая доля затраченной энергии ушла в дело, остальное стало теплом.
Пусть груз массой m поднимается по наклонной дороге длиной s с углом α. Сила тяжести m · g смотрит вниз, а дорога идет вверх под углом α, так что угол между силой и путем равен 90° + α. Работа силы тяжести A = m · g · s · cos(90° + α) = −m · g · s · sin α. Но s · sin α это и есть высота подъема h. Значит A = −m · g · h, сколько бы ни был длинным путь.
Серпантин можно разбить на много маленьких наклонных кусочков. На каждом работа силы тяжести равна −m · g · Δh, а сумма всех Δh равна полной высоте H. Поэтому работа силы тяжести зависит только от того, насколько поднялся или опустился груз. Пологая длинная дорога или крутой короткий въезд, клеть в стволе или конвейер: против силы тяжести совершается одна и та же работа m · g · H.
Зачем тогда пологие дороги? Чем меньше уклон, тем меньше сила тяги F = m · g · sin α, и самосвал едет быстрее при той же мощности. Зато путь длиннее, и сопротивление качению f · m · g · cos α действует дольше, так что лишняя работа на качение растет. Кинетическая энергия по той же логике: сила разгоняет тело на пути s, работа F · s = m · a · s, а из темы 1.1 a · s = v² / 2, отсюда Ek = m · v² / 2.
Двигатель самосвала дает примерно постоянную мощность, поэтому по P = F · v на крутом подъеме с полным кузовом скорость падает до 10 ... 13 км/ч. По этой формуле подбирают уклон дорог и рассчитывают время рейса и производительность парка самосвалов.
Груженый самосвал на спуске отдает энергию высоты, мегаватты тепла. Колесные тормоза такую мощность долго не выдержат: перегреются и откажут. Поэтому самосвалы тормозят ретардером: электромоторами колес в режиме генератора с резисторами или гидравлическим тормозом, а скорость спуска выбирают по его мощности.
Если тяговые моторы на спуске не греют резисторы, а отдают ток в сеть или аккумулятор, энергия возвращается. Троллейвозы на подъеме берут ток из контактной сети, а электросамосвалы, которые возят груз вниз, могут заряжаться на спуске и почти не тратить энергию.
Вода в карьере или шахте собирается в зумпфе на дне, ее надо поднять на десятки и сотни метров. Мощность насоса считают как P = ρ · g · Q · H / η: плотность воды, расход в м³/с, высота подъема и КПД. Сотни кубометров в час на 300 м требуют мотора в сотни киловатт.
Клеть с людьми или скип с рудой поднимают канатом из ствола глубиной сотни метров. Чтобы машина не поднимала саму клеть, ставят противовес или вторую клеть: пока одна идет вверх, другая опускается, и работа против силы тяжести нужна только для груза.
Ночью, когда электричества много, насосы закачивают воду в верхнее водохранилище и запасают энергию m · g · h. Днем вода идет вниз через турбины и отдает энергию обратно. Из каждых 100 кВт·ч возвращается около 75: остальное съедают КПД насоса, турбины и трубы.
Самосвал, клеть и тележка считаются точками, скорость на подъеме и спуске постоянна, разгон, торможение у отвала и сопротивление воздуха не учитываются. Сопротивление качению задано одним коэффициентом f, на деле оно зависит от состояния дороги, давления в шинах и температуры. КПД дизеля 40 % и теплота сгорания 36 МДж/л взяты средними; реальный расход больше из-за разгонов, холостого хода и работы на неполной мощности. Массы, мощности двигателей и ретардеров в готовых случаях примерные, близкие к самосвалам грузоподъемностью около 220 т и обычным шахтным подъемам. Расчет нагрева тормозов условный: вся энергия спуска в 1 т стали без охлаждения. Доля возврата энергии при рекуперации принята 70 %. Для насоса масса воды поднимается за время откачки, вода в трубе показана условно. g = 9,81 м/с².