Почему верх колеса самосвала летит вдвое быстрее машины, а нижняя точка стоит на месте? Катящееся колесо, шатун и мгновенный центр скоростей.
Плоское движение это сумма двух простых: тело едет вперед, как самосвал в теме 1.1, и одновременно поворачивается, как диск в теме 1.3. У колеса центр едет со скоростью v₀, а обод крутится вокруг центра со скоростью ω · R. Наверху обе скорости смотрят вперед и складываются, внизу смотрят в разные стороны и гасят друг друга.
Точку тела, у которой скорость сейчас равна нулю, называют мгновенным центром скоростей, сокращенно МЦС, и обозначают P. Найди ее, и задача становится простой: все тело в этот миг как будто вращается вокруг P. Скорость любой точки равна ω, умноженной на расстояние до P, и направлена поперек этого отрезка.
ⓘ Колесо жесткое и идеально круглое, дорога ровная, скорость центра постоянная. Колесо и механизм на рисунке всегда одного размера, настоящие длины указаны подписями.
Первая формула главная: скорость любой точки через мгновенный центр. Вторая связывает езду и вращение колеса. Третья показывает, откуда все это берется: скорость точки складывается из скорости центра и скорости вращения. Числа под формулами из опыта, они меняются вместе с ним.
С какой скоростью движется любая точка тела?
Скорость точки M равна угловой скорости тела, умноженной на расстояние от этой точки до мгновенного центра P. Направлена скорость поперек отрезка PM, в сторону вращения. Чем дальше точка от P, тем она быстрее.
Как связаны скорость машины и обороты колеса?
Когда колесо катится без проскальзывания, точка касания стоит, и центр едет со скоростью ω · R. Если колесо буксует, ω · R больше v₀, если идет юзом, меньше. Разница v₀ − ω · R это скорость скольжения шины по дороге.
Откуда берется скорость точки обода?
Скорость точки это сумма стрелок: скорость центра v₀ и скорость вращения вокруг центра ω · R. При чистом качении сумма по модулю равна 2v₀ · sin(θ/2), где θ угол от точки касания до точки M.
Возьми любую точку тела за полюс, например центр колеса C. Тогда движение тела можно разложить на два: все точки едут вместе с полюсом со скоростью v₀, и одновременно тело поворачивается вокруг полюса с угловой скоростью ω. Скорость точки M равна сумме: vM = v₀ + ω × CM. Вторая часть по модулю ω · CM и направлена поперек отрезка CM, как у диска в теме 1.3.
Теперь выбери полюсом точку P, у которой скорость ноль. Первое слагаемое пропадает, и остается vM = ω × PM. Значит, в этот миг тело просто вращается вокруг P: v = ω · PM, и скорость перпендикулярна PM.
У колеса без проскальзывания P в точке касания. Из треугольника PCM видно, что PM = 2R · sin(θ/2), поэтому v = ω · 2R · sin(θ/2) = 2v₀ · sin(θ/2). Если скорости двух точек известны только по направлению, как у концов шатуна, P находят на пересечении перпендикуляров к этим скоростям.
Спидометр считает скорость машины по оборотам колеса: v₀ = ω · R. Если поставить шины другого размера или шина сильно износилась, R меняется, и спидометр начинает врать на те же проценты. Поэтому для каждого типоразмера шин задают свой радиус качения.
На мокрой глине или льду колесо карьерного самосвала крутится быстрее, чем едет машина: ω · R больше v₀, МЦС уходит вверх. Шина скользит, тяга падает, протектор быстро изнашивается. Противобуксовочная система сравнивает обороты колес с реальной скоростью и снижает момент на колесе.
Нижняя ветвь гусеницы лежит на грунте и стоит, как точка касания колеса. Верхняя ветвь при этом движется вперед вдвое быстрее машины. Поэтому поддерживающие катки и натяжное колесо изнашиваются быстрее, чем кажется по скорости хода.
В кривошипно-шатунном механизме дизеля или поршневого компрессора МЦС шатуна находят на пересечении перпендикуляров к скоростям его концов. Так получают скорость поршня при любом угле кривошипа и проверяют, где она наибольшая: от этого зависят износ цилиндра и смазка.
Стрела, рукоять и ковш экскаватора соединены шарнирами и гидроцилиндрами. Через МЦС звеньев конструктор быстро находит, с какой скоростью пойдет зуб ковша при заданной скорости штока, и как меняется это соотношение по ходу копания.
В мотор-колесе самосвала и в коробках передач шестерни-сателлиты катятся по неподвижному венцу. МЦС сателлита в точке зацепления с венцом, поэтому его ось движется вдвое медленнее, чем внешняя точка зубьев. Из этого получают передаточное число редуктора.
Колесо считается жестким и идеально круглым, дорога плоской, скорость центра и обороты постоянными. Настоящая шина под весом самосвала сминается, и ее радиус качения немного меньше свободного радиуса. При буксовании и юзе отношение k в опыте задано вручную, а в жизни оно зависит от силы сцепления шины с дорогой, это динамика. В кривошипно-шатунном механизме кривошип вращается равномерно, ось цилиндра проходит через ось вала. Числа в готовых случаях примерные: колесо самосвала грузоподъемностью около 130 т, дизель с ходом поршня около 170 мм, поршневой компрессор.