Центробежная сила

С какой скоростью самосвал можно вести в повороте, чтобы его не занесло и не опрокинуло? Центробежная сила, вираж и критическая скорость.

01 Что это такое

Чтобы ехать по дуге, телу нужна сила к центру. Внутри машины та же сила ощущается как толчок наружу.

В теме 1.3 мы нашли, что у тела на окружности есть ускорение к центру a = v² / R. По второму закону Ньютона (тема 3.1) для него нужна сила F = m v² / R, направленная к центру. На дороге ее дают шины: сила трения между колесами и покрытием. Если трения не хватает, машина уходит по касательной: это занос.

Водитель смотрит на то же самое изнутри. Ему кажется, что его «отбрасывает» наружу, а сиденье и ремень удерживают. В системе отсчета машины удобно считать, что на каждое тело действует центробежная сила инерции m v² / R, направленная от центра. Это не новое взаимодействие, а та же масса, которая «не хочет» поворачивать. Обе записи дают одинаковые числа, выбирай ту, где проще считать.

Слева взгляд с дороги: сила от шин поворачивает машину. Справа взгляд из кабины: появляется сила инерции наружу, ее уравновешивают сиденье и ремень. Величина в обоих случаях m v² / R.

F: Центробежная сила, Н. F = m v² / R. Растет как квадрат скорости: вдвое быстрее значит вчетверо сильнее. Для 220-тонного самосвала это сотни кН.
R: Радиус поворота, м. Чем круче поворот (меньше R), тем больше сила при той же скорости. В карьере повороты бывают 30 до 60 м.
μ: Коэффициент сцепления, без единиц. Какую долю веса шины могут дать вбок. Сухая дорога около 0,6, мокрая 0,3 до 0,4, лед 0,1.

02 Опыт

Разгоняйся. Сужай поворот. Ищи предел. СИЛЫ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ

ДИНАМИКА

С какой скоростью можно пройти поворот?

Рис. 3.6

ГОТОВЫЕ СЛУЧАИ

ⓘ Поворот на виде сверху всегда одного размера, настоящий радиус указан подписью. На виде сзади колея и высота центра тяжести в одном масштабе, самосвал условный. Стрелки сил в одном масштабе, кроме случаев, когда сила слишком велика: тогда стрелка укорочена и это подписано. Уклон виража нарисован настоящим.

03 Формулы по буквам

Сила к центру, предел трения, предел опрокидывания

Первая формула говорит, какая сила нужна для поворота. Вторая сравнивает ее с тем, что могут дать шины, и с тем, что выдержит машина, не встав на два колеса. Третья показывает, как вираж забирает часть работы у трения. Числа под формулами из опыта.

Какая сила нужна, чтобы пройти поворот?

F = m v² / R
F = m ω² r

Сила равна массе, умноженной на центростремительное ускорение из темы 1.3. Снаружи это сила к центру, которую дают шины. Изнутри машины это центробежная сила той же величины, направленная наружу. Вторая строка для вращающихся деталей, где удобнее обороты.

F: сила, Н. В кабине ее чувствуют как перегрузку вбок: F / (m g) в долях g
m: масса, кг: 220 т = 220 000 кг
v: скорость, м/с. Из км/ч дели на 3,6
R, r: радиус поворота или расстояние от оси до груза, м
ω: угловая скорость, рад/с: ω = v / R = 2π n / 60

При какой скорости начнется занос или опрокидывание?

v_зан = √(μ g R)
v_опр = √(g R B / (2h))

Занос: нужная сила дошла до наибольшего трения μ m g. Опрокидывание: центробежная сила на плече h повернула машину сильнее, чем вес на плече B / 2. Масса сокращается, поэтому пустой и груженый самосвал заносит на одной скорости. Что меньше, то и наступит первым.

μ: коэффициент сцепления шин с дорогой
g: ускорение свободного падения, 9,81 м/с²
B: колея, м: расстояние между внутренним и внешним колесом
h: высота центра тяжести над дорогой, м. Груз в кузове поднимает ее

Какой уклон нужен, чтобы ехать без трения?

tg β = v² / (g R)
tg θ = ω² r / g

Если дорогу наклонить внутрь поворота, реакция дороги тоже наклонится и сама даст силу к центру. При идеальной скорости трение вообще не нужно. Вторая строка та же формула для груза регулятора: рычаг играет роль наклонной дороги.

β: угол виража, уклон дороги внутрь поворота
θ: угол отклонения рычага регулятора от вертикали
v² / (g R): отношение центробежной силы к весу: какую долю веса нужно дать вбок

Откуда берутся критические скорости

Встань в систему отсчета машины. На нее действуют вес m g вниз, центробежная сила F_цб = m v² / R наружу, реакции дороги N_вн и N_нар на внутреннее и внешнее колесо и сила трения F_тр к центру. В этой системе машина стоит, значит силы и моменты уравновешены.

Занос. Вбок трение должно уравновесить центробежную силу: F_тр = m v² / R. Трение не может быть больше μ N = μ m g. Приравняй: m v² / R = μ m g, масса сократится, и v_зан = √(μ g R).

Опрокидывание. Возьми моменты относительно точки O под внешним колесом. Центробежная сила с плечом h опрокидывает: m v² / R · h. Вес с плечом B / 2 удерживает: m g · B / 2. Реакция N_вн = m g / 2 − m v² h / (R B) падает с ростом скорости, и когда моменты сравняются, она станет нулем: внутреннее колесо оторвется. Отсюда v_опр = √(g R B / (2h)).

Вираж. Если дорога наклонена внутрь на угол β, разложи силы вдоль и поперек дороги. Без трения нужна скорость, при которой вес и центробежная сила дают равнодействующую строго поперек дороги: m g sin β = m v² / R · cos β, то есть tg β = v² / (g R). С трением предел поднимается: v_зан² = g R (tg β + μ) / (1 − μ tg β), опыт считает именно так.

Вид сзади на ровной дороге. Плечо центробежной силы h, плечо веса B / 2 относительно точки O под внешним колесом.

04 Где и зачем это применяют

От карьерной дороги до сепаратора масла

Радиусы и виражи карьерных дорог
Проектировщик задает расчетную скорость и находит наименьший радиус R = v² / (g (μ + tg β)) с запасом. На съездах и серпантинах радиус ограничен бортом карьера, поэтому там делают уклон внутрь и ставят знаки ограничения скорости.
Ограничение скорости в поворотах
Скорость в повороте назначают по худшему случаю: мокрая дорога, груженая машина с высоким центром тяжести. Запас по v_зан и v_опр берут в полтора раза и больше, ведь сила растет как квадрат скорости, и небольшое превышение съедает запас быстро.
Возвышение наружного рельса
На железной дороге наружный рельс в кривой поднимают на h = s v² / (g R), где s около 1,6 м. При расчетной скорости колеса не давят гребнями на рельс, меньше износ и нет риска схода. Это тот же вираж, только записан через высоту, а не угол.
Центробежные муфты и регуляторы
В центробежной муфте колодки на пружинах прижимаются к барабану, когда m ω² r превысит силу пружины: двигатель трогает с места плавно. Регулятор Уатта по углу грузов прикрывает подачу пара или топлива и держит обороты.
Центрифуги и сепараторы
Сепаратор масла и топлива крутится на 6000 до 10 000 об/мин, ускорение в барабане в тысячи раз больше g. Вода и грязь тяжелее масла и уходят к стенке, чистое масло собирается у оси. Так очищают дизельное топливо и масло гидросистем.
Барабаны, грохоты и разрыв деталей
В барабанной сушилке и мельнице обороты держат ниже тех, при которых ω² r больше g, иначе материал прилипнет к стенке. Обод маховика и шлифовальный круг разрывает собственная центробежная сила, поэтому на круге пишут предельную окружную скорость.

Допущения модели+

Самосвал считается жестким телом на двух колесах, внутреннем и внешнем, без подвески и без деформации шин. Скорость в повороте постоянная, торможение и тяга не отнимают сцепления. Коэффициент сцепления один для всех колес и не зависит от скорости; после начала заноса трение остается μ N, и машина уходит по дуге большего радиуса. Вираж прямой, без переходной кривой. Числа в готовых случаях примерные: самосвал класса 130 т грузоподъемности, 100 т пустой и около 220 т груженый, колея около 5 до 5,5 м, центр тяжести 2,3 до 3 м, в случае «высокий ЦТ» он поднят до 3,8 м (груз шапкой, надставленные борта). Регулятор Уатта упрощен до двух грузов на рычагах, подвешенных на оси; масса рычагов и муфты не учтена.

Еще в направлении «Механика»

Все темы направления «Механика» →