Устойчивость стержней

Почему тонкая стойка ломается задолго до предела прочности? Потеря устойчивости, формула Эйлера и гибкость стержня.

01 Что это такое

Длинный сжатый стержень ломается не от сжатия, а оттого что внезапно выгибается вбок. Это случается при силе во много раз меньше той, что его раздавила бы.

Поставь стальную линейку на стол и надави сверху. Если зажать ее пальцами у самого края, она выдержит вес человека. Длинная линейка при легком нажиме вдруг выгибается дугой, хотя сталь в ней нагружена слабо. Сила, при которой прямая форма перестает быть устойчивой, называется критической силой Эйлера F_кр. Как подобрать сечение с большим моментом инерции, разобрано в теме 5.4.

Чем длиннее стержень, тем меньше F_кр: вдвое длиннее, вчетверо слабее. Важно и закрепление концов: жесткая заделка не дает концу поворачиваться, и изогнутая ось короче, а стержень прочнее. Выгибается стержень всегда в ту сторону, где сечение «тоньше»: линейка гнется плашмя, а не ребром.

Зелеными точками отмечены точки перегиба. Между ними изогнутая ось похожа на полуволну синусоиды длиной μ L. Заделка и свободный конец дают четверть волны, поэтому μ = 2; две заделки дают полуволну длиной L / 2, поэтому μ = 0,5.

F_кр: Критическая сила, Н. Наименьшая сжимающая сила, при которой прямой стержень выгибается вбок. Рабочую силу берут в 2 - 4 раза меньше.
μ: Коэффициент приведения длины, без единиц. Учитывает закрепление концов: μ L это длина одной полуволны изогнутой оси. От 0,5 (обе заделки) до 2 (заделка и свободный конец).
λ: Гибкость, без единиц. λ = μ L / i: длина стержня в «толщинах» сечения. Сталь при λ больше 100 теряет устойчивость упруго, при λ меньше 60 просто сминается.

02 Опыт

Нагружай. Удлиняй. Меняй сечение и опоры. КРИТИЧЕСКАЯ СИЛА ЭЙЛЕРА

СОПРОМАТ

Почему длинный шток гидроцилиндра проверяют не только на прочность?

Рис. 5.6

ГОТОВЫЕ СЛУЧАИ

Критическая сила, F_кр

Гибкость, λ

Запас устойчивости, n_у

ⓘ Стержень прямой с маленькой начальной кривизной L / 1000 (так бывает у проката и штоков после правки), сила приложена строго по оси. Длина на рисунке всегда одна, толщина показана в масштабе к длине, но не тоньше нескольких точек. Боковой прогиб до потери устойчивости увеличен, чтобы его было видно. После потери устойчивости прогиб растет до упора или до излома; на рисунке он показан условно. Сжатие по длине не учитывается.

03 Формулы по буквам

Сила Эйлера, гибкость и запас устойчивости

Все три карточки берут числа из опыта. Меняй длину, сечение и опоры или выбери готовый случай, и подстановка пересчитается.

При какой силе стержень выпучится?

F_кр = π² E I_min / (μ L)²

Критическая сила растет с жесткостью материала E и сечения I, а падает с квадратом длины полуволны μ L. Стержень вдвое длиннее держит вчетверо меньше. Прочность материала в формулу не входит: сталь 45 выпучится при той же силе, что и Ст3.

E: модуль упругости, Па. Сталь около 200 ГПа, дюраль 72 ГПа, сосна вдоль волокон 10 ГПа
I_min: наименьший момент инерции сечения, м⁴: круг π d⁴ / 64, полоса b h³ / 12 (h тоньше b)
μ, L: коэффициент закрепления и длина, м. μ L называют приведенной длиной

Можно ли верить формуле Эйлера?

λ = μ L / i, i = √(I / A)
σ_кр = π² E / λ²

Гибкость λ показывает, насколько стержень длинный по сравнению с толщиной сечения. Формула Эйлера верна, только пока σ_кр не выше предела пропорциональности, то есть при λ ≥ λ_пр. При меньшей гибкости σ_кр берут по прямой Ясинского a − b λ, а совсем короткий стержень сминается при σ_т.

i: радиус инерции сечения, м: у круга d / 4, у полосы h / √12
A: площадь сечения, м²
λ_пр: предельная гибкость π √(E / σ_пц): у Ст3 около 100, у стали 45 около 83

Хватает ли запаса?

n_у = F_кр / F ≥ [n_у]

Запас устойчивости показывает, во сколько раз сила должна вырасти, чтобы стержень выпучился. Для стали требуют 1,8 - 3, для чугуна и дерева 3 - 5, для штоков и винтов домкратов 2,5 - 4: у них есть зазоры и сила бывает не строго по оси.

n_у: фактический запас устойчивости, без единиц
[n_у]: требуемый запас из норм и правил расчета, без единиц
F: рабочая сжимающая сила, Н. Для штока: давление на площадь поршня

Откуда берется F_кр = π² E I / L²

Представь, что прямой стержень с шарнирами на концах чуть-чуть изогнули, и в сечении на высоте x его ось ушла вбок на y. Сила F теперь действует на плече y и создает изгибающий момент F · y. Он гнет стержень дальше. Чем больше прогиб, тем больше этот момент.

Изогнутый стержень сопротивляется: упругий момент равен E I, умноженному на кривизну оси, а кривизна при малом прогибе это y″ (вторая производная, как ускорение для пути в теме 1.1). Он стремится выпрямить ось. Равновесие изогнутой формы: E I y″ + F y = 0.

Это то же уравнение, что у пружинного маятника из темы 4.2 (a = −ω² x), только вместо времени длина. Решение синусоида y = a sin(k x), где k² = F / (E I). Шарниры требуют y = 0 на обоих концах, значит на длине L укладывается полуволна: k L = π. Отсюда F = π² E I / L². При меньшей силе изогнутая форма невозможна, и стержень сам выпрямляется. При F = F_кр он держится изогнутым с любым прогибом, а при большей силе упругость уже не может вернуть ось, и прогиб растет до излома. Другие опоры меняют длину полуволны на μ L.

Момент силы F · y растет вместе с прогибом, упругий момент тоже. Пока F меньше F_кр, упругость сильнее, и ось возвращается к прямой. После F_кр уже нет.

04 Где и зачем это применяют

От штока экскаватора до бурильной колонны

Штоки гидроцилиндров
Цилиндры стрелы экскаватора и подъема кузова самосвала в выдвинутом положении это длинные сжатые стержни на шарнирах. Диаметр штока часто выбирают не по прочности, а по устойчивости при полном ходе. Телескопический цилиндр кузова опасен в последней ступени: она самая тонкая, а длина наибольшая.
Колонны и стойки зданий
Колонны цехов, галерей конвейеров и эстакад рассчитывают на устойчивость в первую очередь. Поэтому колонны делают из широкополочных двутавров и труб с близкими моментами инерции по обеим осям, а между колоннами ставят связи, которые укорачивают расчетную длину.
Леса и опалубка
Стойки строительных лесов из трубы 48 × 3 мм держат до нескольких тонн только благодаря горизонтальным ригелям через каждые 2 м. Убери ригель, и длина полуволны удвоится, а критическая сила упадет вчетверо. Так же рассчитывают телескопические стойки опалубки перекрытий.
Домкраты и винтовые подъемники
Винт домкрата снизу закреплен в корпусе, а сверху свободен: μ = 2, самый невыгодный случай. Поэтому у домкратов ограничен ход, а при подъеме тяжелого самосвала или ковша нельзя выкручивать винт до конца и ставить домкрат с перекосом.
Фермы и стрелы кранов
В ферме одни стержни растянуты, другие сжаты. Растянутые можно делать тонкими, а сжатые раскосы и пояса подбирают по гибкости: обычно λ не больше 120 - 150. Решетчатая стрела гусеничного крана целиком тоже сжатый стержень, и ее устойчивость ограничивает длину стрелы.
Бурильные трубы
При бурении нижнюю часть бурильной колонны прижимают к забою ее собственным весом. Сжатый участок длиной в десятки метров теряет устойчивость и ложится на стенку скважины спиралью. Поэтому внизу ставят тяжелые толстостенные утяжеленные трубы, а нагрузку на долото держат меньше их веса.

Допущения модели+

Стержень прямой, однородный, постоянного сечения, сила приложена строго по оси и не меняет направления при изгибе. Начальная кривизна L / 1000, прогиб до потери устойчивости считается по приближенной формуле y = e₀ / (1 − F / F_кр). Критическое напряжение: при λ ≥ λ_пр по Эйлеру, между λ₀ и λ_пр по прямой Ясинского, проведенной через точки (λ₀, σ_т) и (λ_пр, σ_пц), при λ меньше λ₀ равно σ_т. Свойства материалов округлены: Ст3 E = 200 ГПа, σ_пц = 200 МПа, σ_т = 240 МПа; сталь 45 E = 210 ГПа, σ_пц = 300 МПа, σ_т = 360 МПа; Д16Т E = 72 ГПа, σ_пц = 180 МПа, σ_т = 290 МПа; сосна вдоль волокон E = 10 ГПа, предел прочности на сжатие 29 МПа. Двутавры по ГОСТ 8239 с табличными A и I. Шток гидроцилиндра в опыте считается сплошным стержнем на всю длину между пальцами; гильза на самом деле жестче штока, и настоящий расчет цилиндра дает чуть больший запас. Числа в готовых случаях примерные. Местная потеря устойчивости тонких стенок трубы и полок двутавра, кручение и потеря устойчивости плоской формы изгиба не учитываются. Сжатие и закон Гука разобраны в теме 5.2, моменты инерции сечений в теме 5.4.

Еще в направлении «Механика»

Все темы направления «Механика» →