Какого диаметра нужен вал, чтобы передать мощность двигателя и не скрутиться? Касательные напряжения, угол закручивания и мощность на валу.
Нанеси на вал сетку: продольные линии и кольца. Приложи к концам два противоположных момента T, и продольные линии станут винтовыми, а квадратики сетки перекосятся в ромбы. Кольца при этом останутся плоскими и круглыми: каждое сечение просто повернулось как целое. Конец вала повернулся относительно начала на угол закручивания φ.
Перекос квадратика тем больше, чем дальше он от оси, как путь точки на спице колеса. Значит, и касательное напряжение τ растет от нуля на оси до наибольшего τmax у поверхности. Момент на валу зависит от мощности и оборотов: T = P / ω. Тихоходный вал после редуктора при той же мощности нагружен сильнее, поэтому он толще.
ⓘ Вал круглый, гладкий, материал работает упруго (закон Гука для сдвига). Учтено только кручение: изгиб от шестерен и ремней, шпоночные пазы и усталость спрятаны в низком допускаемом напряжении [τ]. Толщина вала на рисунке растет с диаметром, но не в масштабе. Малые углы закручивания на рисунке увеличены (во сколько раз, написано под рисунком), вращение замедлено. Числа и графики считаются по настоящим размерам.
Все три карточки берут числа из опыта. Двигай ползунки или выбери готовый случай, и подстановка пересчитается.
Какой момент несет вал?
Момент равен мощности, деленной на угловую скорость. Мощность та же, обороты в 10 раз меньше, момент в 10 раз больше. Вторая строка для привычных единиц: P в киловаттах, n в оборотах в минуту, T в Н·м.
Выдержит ли вал?
Наибольшее напряжение на поверхности равно моменту, деленному на полярный момент сопротивления. Wp растет как куб диаметра: вал вдвое толще выдержит в 8 раз больший момент. Отсюда диаметр по прочности d = ∛(16 T / (π [τ])).
На какой угол скрутится вал?
Угол растет с моментом и длиной и падает с жесткостью материала G и полярным моментом инерции Ip. Вал вдвое длиннее закрутится вдвое сильнее, вдвое толще в 16 раз слабее. Угол получается в радианах, на градусы умножь на 57,3.
Вырежи из вала тонкий кусок длиной dx. Под моментом его правый торец повернулся относительно левого на малый угол dφ. Сечение поворачивается как колесо со спицами: точка на радиусе ρ сдвигается по дуге на ρ · dφ. Продольная линия на этом радиусе наклоняется на угол сдвига γ = ρ · dφ / dx. Чем дальше от оси, тем больше перекос, на оси он ноль.
Закон Гука для сдвига: τ = G · γ, где G модуль сдвига. Значит, τ = G · ρ · dφ / dx, напряжение растет по радиусу линейно. Каждая площадка dA на радиусе ρ дает момент τ · ρ · dA. Сложи их по всему сечению: T = G · (dφ / dx) · ∑ ρ² dA. Сумма ∑ ρ² dA и есть полярный момент инерции Ip = π d⁴ / 32.
Отсюда dφ / dx = T / (G Ip), и для вала длиной l угол φ = T l / (G Ip). Подставив это в τ, получим τ = T ρ / Ip. На поверхности ρ = d / 2, и τmax = T / Wp, где Wp = Ip / (d / 2) = π d³ / 16. Сердцевина вала почти не работает, поэтому полый вал той же массы прочнее.
Диаметр вала сначала прикидывают по кручению: d = ∛(16 T / (π [τ])), с низким [τ] около 20 - 40 МПа, а потом проверяют на изгиб и усталость. Вал электродвигателя насоса тонкий, а тихоходный вал редуктора привода конвейера или мельницы при той же мощности толще в несколько раз.
Карданный вал самосвала делают из тонкостенной трубы: полый вал той же массы прочнее и жестче сплошного, а легкий вал меньше раскачивается на оборотах. Полуоси и бортовые редукторы карьерных самосвалов несут уже усиленный момент, поэтому они сплошные и толстые.
Торсион это упругий стержень, который работает пружиной на кручение. Один конец закреплен в раме, на другом рычаг колеса. Угол закручивания φ = T l / (G Ip) задает жесткость подвески. Торсионы стоят на гусеничных машинах, некоторых грузовиках и в стабилизаторах легковых машин.
Чтобы при заклинивании не сломать редуктор, в привод ставят слабое звено: срезной штифт или шпильку, рассчитанную на срез при заданном моменте. Перегрузка срезает дешевую шпильку, а не вал. Так защищают шнеки, дробилки и питатели, где в машину может попасть металл.
Буровой станок вращает долото через колонну труб длиной в десятки и сотни метров. Длинная колонна заметно закручивается: при большой длине угол достигает нескольких оборотов. Трубы полые, по ним подают воздух или раствор для выноса шлама, и их проверяют на кручение вместе с осевой нагрузкой.
Стержень отвертки тонкий, поэтому его делают из закаленной стали с высоким допускаемым напряжением. Рука легко дает 5 Н·м, и напряжение в стержне 6 мм выходит больше 100 МПа. Динамометрический ключ на торсионе показывает момент затяжки по углу закручивания упругого стержня.
Вал прямой, круглый, одного диаметра по всей длине, без шпоночных пазов, галтелей и отверстий; на них напряжение местами выше в 1,5 - 3 раза. Материал работает упруго: напряжение меньше предела текучести, и сечения остаются плоскими. Момент постоянен по длине вала и не меняется во времени; пусковые моменты и удары учитывают коэффициентом. Изгиб и усталость в расчете не участвуют, поэтому допускаемое напряжение взято низким: сталь 45 около 40 МПа, сталь 40Х около 70 МПа, дюраль 30 МПа, закаленная сталь S2 отвертки около 300 МПа. Модуль сдвига стали 80 ГПа, дюраля 27 ГПа. КПД передачи не учтен: после редуктора взята та же мощность. Числа в готовых случаях примерные: момент на карданном валу самосвала зависит от включенной передачи, ручной момент на отвертке около 5 Н·м. Норма угла 1 °/м дана для валов передач, точные станки требуют 0,25 °/м.