Как найти самое опасное направление в нагруженной детали? Главные напряжения, поворот площадки и круг Мора.
Вырежи мысленно из нагруженного вала крошечный квадратик. На его гранях действуют нормальные напряжения σ (тянут или давят поперек грани) и касательные τ (сдвигают вдоль грани). Поверни квадратик, и числа на гранях станут другими, хотя нагрузка та же.
Есть поворот, при котором касательных напряжений нет совсем, а нормальные наибольшее и наименьшее: это главные напряжения σ₁ и σ₂. Под 45° к ним касательное напряжение наибольшее. Все пары (σ, τ) при повороте ложатся на окружность: это и есть круг Мора. Поворот площадки на α поворачивает точку на круге на 2α.
ⓘ Напряженное состояние плоское: по толщине детали напряжений нет (σ₃ = 0), материал однородный, квадратик бесконечно малый, поэтому напряжения на его противоположных гранях равны. Длина стрелок пропорциональна напряжению. Ось τ круга направлена вниз: так точка на круге поворачивается в ту же сторону, что и площадка. Положительное τ на грани x′ сдвигает ее против часовой стрелки относительно центра квадратика. Числа в готовых случаях примерные.
Все три карточки берут числа из опыта. Двигай ползунки, поворачивай квадратик или выбери готовый случай, и подстановка пересчитается.
Что действует на площадке, повернутой на угол?
Нормальное и касательное напряжения на повернутой грани меняются по синусоидам двойного угла. Поверни квадратик на 90°, и 2α станет 180°: грани x и y просто поменяются местами.
Где самое большое растяжение?
Главные напряжения лежат на круге там, где он пересекает ось σ: центр плюс и минус радиус. Угол α0 показывает, на сколько повернуть квадратик, чтобы сдвиг на гранях исчез.
Выдержит ли материал?
Наибольший сдвиг равен радиусу круга и действует под 45° к главным площадкам. Эквивалентное напряжение по Мизесу сводит σ1 и σ2 к одному числу; пока оно меньше предела текучести, металл не течет.
Отрежь от квадратика наклонной площадкой треугольный кусочек. Пусть площадь наклонной грани dA, ее нормаль повернута на α от оси x. Тогда левая грань имеет площадь dA cos α, нижняя dA sin α. Напряжение, умноженное на площадь, дает силу, а кусочек в покое, поэтому силы на нем уравновешены, как в теме 2.2.
Спроецируй все силы на нормаль к наклонной грани: σα dA = σx dA cos²α + σy dA sin²α + 2τxy dA sin α cos α. Сократи dA и замени cos²α = (1 + cos 2α) / 2, sin²α = (1 − cos 2α) / 2, 2 sin α cos α = sin 2α. Получится первая формула. Проекция на саму наклонную грань дает τα.
Теперь перенеси C влево и возведи обе формулы в квадрат: (σα − C)² = (D cos 2α + τxy sin 2α)², τα² = (−D sin 2α + τxy cos 2α)². Сложи их: смешанные слагаемые сокращаются, cos² + sin² = 1, и остается (σα − C)² + τα² = D² + τxy² = R². Это уравнение окружности с центром C и радиусом R. Угол α в формулы входит только как 2α, поэтому точка обходит круг вдвое быстрее, чем поворачивается площадка.
Вал редуктора конвейера одновременно изгибается от натяжения ленты и скручивается моментом. Изгиб дает σ = M / W, кручение τ = T / (2W), и σэкв = √(σ² + 3τ²) = √(M² + 0,75 T²) / W. Отсюда эквивалентный момент, по которому подбирают диаметр, как в теме 5.5.
В стенке трубы окружное напряжение σ = p D / (2t) вдвое больше осевого p D / (4t). Поэтому перегретая труба и баллон рвутся вдоль, а не поперек. Так считают гидроаккумуляторы, ресиверы компрессоров, пульпопроводы обогатительной фабрики и газовые баллоны.
Шов, приваривающий кронштейн или ухо к раме самосвала, нагружен сразу растяжением и срезом. Его проверяют по эквивалентному напряжению, а угловые швы рассчитывают по наименьшему сечению, которое повернуто на 45° к катетам: там срез наибольший.
Хрупкий излом идет поперек σ1: так чугунный вал при кручении ломается по винтовой линии под 45°. Пластичный металл срезается по площадкам τmax, тоже под 45° к растяжению. По направлению трещины на сломанной полуоси или пальце видно, что разрушило деталь: изгиб, кручение или их сумма.
Датчик меряет удлинение только вдоль себя. Поэтому клеят розетку из трех датчиков под 0°, 45° и 90° и по трем показаниям строят тот же круг (только для деформаций), находят главные напряжения и их направления. Так проверяют стрелы экскаваторов, рамы и металлоконструкции мельниц.
Грунт и скальная порода разрушаются сдвигом. По закону Мора и Кулона порода выдерживает τ = c + σ tg φ, где c сцепление, φ угол трения. Если круг напряжений коснулся этой прямой, порода сдвигается. Так оценивают устойчивость бортов карьера, отвалов и целиков в шахте.
Напряженное состояние плоское: третье главное напряжение σ₃ = 0, оно направлено поперек плоскости рисунка. Тогда настоящее наибольшее касательное напряжение равно наибольшему из R, |σ₁| / 2 и |σ₂| / 2: при двухосном растяжении (баллон, сфера) сдвиг идет из плоскости, хотя круг на рисунке маленький или сжат в точку. Материал однородный, изотропный и упругий, концентрации напряжений от галтелей, отверстий и шпоночных пазов нет. Эквивалентное напряжение считается по критерию Мизеса (энергия формоизменения), он хорошо работает для пластичных сталей; для чугуна и пород берут критерий Мора и Кулона. Запас считается только по текучести, без усталости. Знак τxy выбран как в большинстве учебников: плюс, если на правой грани сдвиг направлен вверх. Числа в готовых случаях примерные.