Какой диаметр нужен валу редуктора, если его одновременно гнут и крутят? Эпюры, эквивалентный момент, прогиб и критическая скорость вала.
Колесо редуктора давит на вал двумя силами: окружной Ft, которая и передает момент, и радиальной Fr, которая расталкивает колеса. Шкив тянут обе ветви ремня. Эти силы гнут вал в двух плоскостях, подшипники держат его, а момент T скручивает участок между деталью, через которую мощность входит, и деталью, через которую она уходит.
Расчет идет по шагам: схема с опорами, реакции, эпюры моментов как в теме 5.3, суммарный изгиб, кручение как в теме 5.5, эквивалентный момент по Мизесу из темы 5.7, нужный диаметр. Потом проверяют прогиб под колесом, угол в подшипниках и критическую скорость, как в теме 4.4. Там, где момент больше, вал делают толще; уступы скругляют галтелями, чтобы не родилась усталостная трещина из темы 5.8.
ⓘ Зубчатое колесо прямозубое, угол зацепления 20°, оба зацепления сверху вала. Ремень, цепь и лента барабана тянут вал горизонтально. Подшипники считаются шарнирными опорами в середине своей ширины. Поперечный масштаб вала увеличен, прогиб увеличен еще сильнее, во сколько раз, написано под рисунком. Деталь можно тянуть вдоль вала прямо на рисунке. Числа в готовых случаях примерные.
Все три карточки берут числа из опыта. Выбери готовый случай или двигай детали, и подстановка пересчитается.
Какими силами детали давят на вал?
Окружная сила равна моменту, деленному на радиус колеса. Чем меньше колесо при том же моменте, тем больше сила: маленькая шестерня давит на свой вал сильнее большого колеса. Радиальная сила появляется из-за наклона профиля зуба.
Как сложить изгиб в двух плоскостях и кручение?
Изгибы в двух перпендикулярных плоскостях складываются как стороны прямоугольного треугольника: вал круглый, и ему все равно, в какую сторону гнуться. Кручение добавляется с весом 0,75 по критерию Мизеса.
Какой нужен диаметр и не пойдет ли вал в разнос?
Нужный диаметр растет как кубический корень из момента: вдвое больший момент требует вал толще всего на 26%. Критическая частота тем выше, чем меньше вал прогибается под собственным весом и весом деталей.
Возьми точку на поверхности вала. Изгиб растягивает ее вдоль оси: σ = M / W, где W = π d³ / 32 момент сопротивления сечения при изгибе. Кручение сдвигает ее по окружности: τ = T / Wp, а у круглого сечения полярный момент сопротивления вдвое больше, Wp = π d³ / 16 = 2W. Значит τ = T / (2W).
В одной точке действуют сразу σ и τ. Как в теме 5.7, их сводят к одному эквивалентному напряжению по Мизесу: σэкв = √(σ² + 3τ²). Подставь: σэкв = √(M² / W² + 3T² / (4W²)) = √(M² + 0,75 T²) / W. Числитель и есть Mэкв. Условие прочности σэкв ≤ [σ] дает W ≥ Mэкв / [σ], то есть π d³ / 32 ≥ Mэкв / [σ], откуда и формула для d.
Критическая скорость: вращающийся вал с колесом похож на груз на пружине. Жесткость вала k, масса m, собственная частота ω = √(k / m), как в теме 4.4. Под весом вал прогнулся на yст = m g / k, поэтому k / m = g / yст и ω = √(g / yст). Переводим в обороты в минуту: nкр = 30 ω / π. Если на валу несколько масс, yст берут усредненным по способу Рэлея.
В каждом редукторе быстроходный, промежуточный и тихоходный валы. Тихоходный крутит в десятки раз больший момент, поэтому он самый толстый. Вал-шестерню делают заодно с маленькой шестерней, когда она едва больше самого вала.
Вал приводного барабана ленточного конвейера гнут обе ветви ленты, а крутит редуктор через муфту. Подвенцовая шестерня мельницы передает сотни киловатт и гнет свой вал так, что прогиб и перекос в зацеплении проверяют отдельно.
Длинный вал центробежного насоса или дымососа вращается на 1500 - 3000 об/мин. Его считают прежде всего на критическую скорость: если n близко к nкр, вал бьет, разбивает уплотнения и подшипники за несколько недель.
Полуось карьерного самосвала передает момент колесу и нагружена в основном кручением, а при повороте и на ухабах еще и изгибом. Карданный вал длинный и полый: трубу проверяют на критическую скорость и балансируют.
Шпиндель токарного или фрезерного станка считают не на прочность, а на жесткость: прогиб под резцом в несколько микрометров уже портит размер детали. Поэтому шпиндели короткие, толстые и стоят на точных подшипниках.
При ремонте вал кладут в центры и индикатором меряют биение шеек: у валов редукторов допуск обычно сотые доли миллиметра. Трещины ищут у галтелей и шпоночных пазов, где эпюра M и концентрация напряжений сходятся, как в теме 5.8.
Вал стальной, E = 210 ГПа, плотность 7850 кг/м³. Подшипники считаются шарнирными опорами в середине своей ширины. Колеса прямозубые с углом зацепления 20°, осевых сил нет; у косозубых колес добавилась бы осевая сила и момент от нее. Сила ремня на вал принята 2,5 Ft (клиновой ремень), цепи 1,15 Ft, ленты на барабане 1,8 Ft при коэффициенте трения 0,35 и обхвате 200°; барабан опирается на вал двумя ступицами. Муфта передает только момент, хотя на деле из-за несоосности она добавляет поперечную силу около 0,2 - 0,3 Ft. Вес деталей в расчет прочности не входит, он нужен только для критической скорости. Диаметр подбирается по допускаемому напряжению [σ], в котором уже учтены переменный изгиб вращающегося вала и концентраторы; точный расчет на усталость с коэффициентами для галтелей и пазов делают отдельно, как в теме 5.8. Допуск прогиба под колесом 0,01 модуля, под шкивом и барабаном 0,0003 L, угол в шарикоподшипнике до 0,005 рад (для роликовых строже, 0,0016 - 0,0025 рад). Модуль колеса оценен по его диаметру. Числа в готовых случаях примерные.