Как рукой поднять самосвал гидродомкратом? Давление, закон Паскаля и выигрыш в силе, оплаченный ходом.
Давление показывает, какая сила приходится на каждый квадратный метр: p = F / A. Нажми на маленький поршень площадью 1 см² силой 100 Н, и в масле появится давление 1 МПа. Жидкость почти не сжимается, поэтому это давление сразу оказывается везде: у стенок, на дне и под большим поршнем.
Под большим поршнем площадью 25 см² те же 1 МПа дают силу 2 500 Н, в 25 раз больше. Это закон Паскаля, на нем работают домкраты, прессы, тормоза машин и вся гидравлика экскаватора. Бесплатно ничего не дается: маленький поршень придется опустить на 25 см, чтобы большой поднялся на 1 см.
ⓘ Домкрат нарисован схематично, длины ручки и диаметры не в масштабе, ход груза на рисунке растянут до нужной высоты H. Масло несжимаемое, утечек и трения нет, массой поршня и ручки пренебрегаем, ручка качается на один и тот же угол около 29°, поэтому ход плунжера s₁ = 0,5 a, а ход руки 0,5 L. Давление в баке домкрата атмосферное. Манометр показывает избыточное давление, сверх атмосферного. Числа в готовых случаях примерные.
Карточки берут числа из опыта. Меняй диаметры, ручку и груз или переключись на давление на глубине, и подстановка пересчитается.
Какое давление нужно, чтобы удержать груз?
Давление равно силе, деленной на площадь, на которую она давит. Одна и та же сила на маленькой площади дает большое давление: так работают нож, гвоздь и плунжер домкрата.
Во сколько раз домкрат умножает силу руки?
Давление под плунжером и под большим поршнем одно, поэтому силы относятся как площади. Ручка добавляет свой выигрыш L / a, как рычаг в теме 2.1. Общий выигрыш равен их произведению.
Чем платим за выигрыш и как давление растет с глубиной?
Сколько масла плунжер вытолкнул, столько пришло под поршень: объемы равны, и большой поршень проходит путь во столько раз меньше, во сколько выиграли в силе. Вторая формула: давление столба жидкости растет с глубиной линейно.
Давление во все стороны одинаково. Вырежи мысленно из покоящейся жидкости крошечную треугольную призму с катетами dx, dy и гипотенузой ds. Жидкость не умеет сопротивляться сдвигу, поэтому на каждую грань давит только сила поперек нее: давление, умноженное на площадь грани. Призма в покое, значит силы уравновешены, как в теме 2.2.
По горизонтали: p1 dy = p3 ds sin α, а dy = ds sin α. Сокращаем и получаем p1 = p3. По вертикали так же: p2 dx = p3 ds cos α, dx = ds cos α, и p2 = p3. Вес призмы пропорционален dx · dy и при уменьшении призмы исчезает быстрее остальных сил. Угол α любой, значит в точке давление одно на любую площадку. Нажми на поршень, и это давление разойдется по всей жидкости: это и есть закон Паскаля.
Работа сохраняется. Плунжер прошел h1 и вытолкнул объем A1 h1. Масло не сжимается, поэтому поршень поднялся на h2 = h1 A1 / A2. Работа плунжера F1 h1 = p A1 h1, работа поршня F2 h2 = p A2 h2, и они равны. Это золотое правило механики из темы 3.3: выиграл в силе, проиграл в пути. Давление столба получается так же: столб высотой h и площадью A весит ρ g A h, делим на площадь и получаем p = ρ g h.
Бутылочный домкрат на 10 т и пресс для выпрессовки подшипников устроены одинаково: плунжер диаметром 10 - 15 мм, обратные клапаны и поршень в 4 - 10 раз шире. Давление в них доходит до 60 - 70 МПа, поэтому на домкрате всегда указана предельная масса: выше ее срабатывает предохранительный клапан.
Педаль давит на поршень главного цилиндра диаметром около 20 - 25 мм, а тормозная жидкость передает давление 5 - 10 МПа на поршни суппортов диаметром 40 - 60 мм на всех колесах сразу. Пузырек воздуха в системе сжимается, и педаль проваливается: поэтому тормоза прокачивают.
Насос держит в системе 25 - 35 МПа. Цилиндр стрелы диаметром 200 мм при 30 МПа толкает с силой около 940 кН. Как насосы делят масло между цилиндрами, разобрано в теме «Гидросистема экскаватора», а скорость штока от расхода в теме «Гидроцилиндр».
Кузов карьерного самосвала с грузом весит сотни тонн. Его поднимают два многоступенчатых телескопических цилиндра при давлении 15 - 20 МПа. Первой выдвигается самая широкая ступень: при том же давлении она дает наибольшую силу как раз тогда, когда кузов тяжелее всего сдвинуть с места.
На дне зумпфа глубиной 12 м вода давит с давлением 0,12 МПа, а нижний пояс стенки резервуара нагружен сильнее верхнего, поэтому его делают толще. Насос, откачивающий воду со дна карьера, должен поднять ее на всю высоту борта: каждые 10 м столба воды это около 1 бар.
Трубка Бурдона в стрелочном манометре разгибается под давлением, датчик на машине меряет прогиб тонкой мембраны. Оба показывают избыточное давление, сверх атмосферного. Их ставят на насос, перед фильтром и в полости цилиндров, а по скачкам давления находят изношенный насос или подклинивший предохранительный клапан.
Жидкость несжимаемая и покоится: давление в домкрате считается в моменты равновесия, без трения, утечек через уплотнения и потерь в клапанах, поэтому работа руки ровно равна работе подъема. У настоящего домкрата КПД 0,6 - 0,8: руке приходится давить сильнее и качать дольше. Вес масла в домкрате мал, и разницей высот внутри него пренебрегаем (на 0,2 м масла это всего 0,002 МПа). Масса плунжера, поршня и ручки не учтена. Ручка всегда качается на один угол, хотя на деле ход можно делать коротким. Сжимаемость масла (около 0,7 % на каждые 10 МПа) и упругость шлангов не учтены, при давлении 60 МПа они съедают несколько процентов хода. В режиме давления на глубине жидкость однородна, g = 9,81 м/с², атмосферное давление 101,3 кПа. Числа в готовых случаях примерные.