Откуда берется Re и почему ламинарные потери растут пропорционально скорости
Возьми кубик жидкости со стороной d, который летит со скоростью v. Чтобы его затормозить или повернуть, нужна сила инерции порядка ρ v² d² (масса ρ d³ на ускорение v² / d, как во втором законе Ньютона из темы 3.1). Вязкость сопротивляется сдвигу слоев с силой порядка μ (v / d) · d² = μ v d. Отношение этих сил ρ v² d² / (μ v d) = ρ v d / μ = v d / ν и есть число Рейнольдса. Когда оно мало, вязкость гасит любое случайное завихрение. Когда велико, инерция раскачивает его быстрее, чем вязкость успевает успокоить.
Теперь ламинарное течение. Выдели в трубе жидкий цилиндр радиуса r и длины L. Его толкает перепад давления Δp · π r², а тормозит вязкое трение по боковой поверхности τ · 2π r L. Течение установилось, значит силы равны: τ = Δp r / (2L). По закону Ньютона для вязкости τ = −μ du/dr. Проинтегрируй от стенки, где u = 0, и получишь u = Δp (R² − r²) / (4 μ L): это парабола, в центре скорость наибольшая и ровно вдвое больше средней.
Средняя скорость v = Δp R² / (8 μ L), откуда Δp = 32 μ L v / d² (закон Пуазейля). Потери пропорциональны первой степени скорости: вдвое быстрее, вдвое больше потерь. Перепиши это в виде Дарси и Вейсбаха, и получится λ = 64 / Re. При турбулентном течении вихри переносят импульс поперек потока и трут о стенку с силой, пропорциональной ρ v², поэтому потери растут как v1,75 в гладкой трубе и как v² в шероховатой.