Математическая лаборатория
Как выглядит твоя формула и что скрывают твои замеры? Пиши функции, двигай параметры, вставляй данные из Excel: график, нули, вершины и подобранная кривая появятся сразу.
Пишешь формулу или вставляешь замеры, лаборатория рисует график и показывает, что на нем важно.
Это графический стол для любых функций и своих данных. Нули, вершины, асимптоты и точки пересечения отмечаются на графике сами. Буквы a, b, c, k превращаются в ползунки: двигай их и смотри, за что отвечает каждый параметр. Замеры из Excel ложатся точками, а метод наименьших квадратов подбирает к ним формулу и дает прогноз.
- f
- Формула. Правило, по которому из x получается y. Пишется почти как в тетради: x^2 − 3x, 2sin x, √(x + 1).
- ∿
- График. Все точки (x; y), где y посчитан по формуле. По нему сразу видно, где функция растет, падает или обрывается.
- •
- Признаки. Нули, вершины, асимптоты, точки пересечения. Лаборатория ищет их численно и показывает с точностью до сотых.
Формулы, точки и признаки на одном поле
Свои данные
| № | x | y | Удалить |
|---|
Подобрать кривую
Прогноз по кривой
Задания
Журнал
хранится в этом браузереⓘ Признаки ищутся численно на видимой части графика, поэтому за краем экрана могут быть еще нули и вершины. Журнал и решенные задания хранятся только в этом браузере.
Как записать формулу и вставить данные
Под полем ввода лаборатория показывает, как она поняла формулу. Если что-то не так, там же будет написано, в каком месте ошибка.
| Что | Как писать | Пример |
|---|---|---|
| Степень | x^2, x², 2^x | x^3 − 3x |
| Умножение | знак можно не писать | 2x, 3sin x, (x + 1)(x − 1) |
| Дробь | знак / и скобки | 1/(x + 1) |
| Корень и модуль | sqrt или √, abs или |…| | √(x + 4), |x − 2| |
| Функции | sin cos tg ctg arcsin arccos arctg exp ln lg | sin(2x), e^(−x), ln x |
| Числа | десятичная запятая или точка, π и e | 2,5x, 0.5x, 2π |
| Параметры | буквы a, b, c, k станут ползунками | a·sin(bx), kx + b |
| Данные из Excel | выдели два столбца, скопируй, вставь в поле «Вставить из Excel» | первая строка с названиями пропустится |
| Кривая по точкам | подбирается сама, как только точек две и больше; кнопками можно выбрать другой вид | кнопка «сама» возвращает автоматический выбор |
Везде, где есть формула или таблица замеров
- Тарировка датчика
Датчик давления выдает ток 4-20 мА. По нескольким точкам строят прямую, и дальше по току сразу получают давление. Если точки уходят от прямой, датчик пора проверить.
- Прогноз износа
Глубину протектора или толщину накладки замеряют раз в несколько недель. Прямая по замерам показывает темп износа и пробег, при котором деталь дойдет до предела.
- Остывание и нагрев
Масло, вода в радиаторе, корпус двигателя остывают по показательному закону и стремятся к температуре воздуха. Кривая «к пределу» показывает, когда можно начинать работу.
- Расход и нагрузка
Расход топлива растет с загрузкой почти по прямой. Наклон прямой говорит, сколько литров добавляет каждая лишняя тонна, а свободный член показывает расход пустой машины.
- Калибровка емкости
В лежачей цистерне объем растет с уровнем неравномерно. Кубическая кривая по нескольким замерам заменяет таблицу и дает литры по любому уровню.
- Проверка домашнего задания
Построй функцию из задачи, найди нули, вершину, промежутки роста и площадь. Если ответ в тетради не совпал с отметкой на графике, ищи ошибку в решении.
Как устроена лаборатория+
Разбор формулы. Текст формулы разбивается на числа, буквы, знаки и скобки, а потом собирается в дерево по правилам старшинства: сначала степень, потом умножение и деление, потом сложение. Степень считается справа налево: 2^3^2 = 2^9 = 512. Минус перед степенью относится ко всей степени: −x^2 = −(x²). Формула не выполняется как программа, поэтому в поле нельзя написать ничего опасного.
Признаки графика. Функция считается в 900 точках видимой части. Где знак меняется, ноль уточняется делением отрезка пополам до 13-14 знаков. Вершины уточняются методом золотого сечения. Скачок отличается от крутого подъема так: отрезок делится пополам, и если перепад не уменьшается, это разрыв, и линия там не соединяется.
Производная и площадь. Производная берется по правилам дифференцирования прямо из дерева формулы, поэтому она точная. Площадь считается адаптивным методом Симпсона: отрезок делится на части, пока ответ не перестанет меняться. Погрешность обычно меньше одной миллиардной.
Подбор кривой. Прямая, парабола и кубическая подбираются точно методом наименьших квадратов. Показательная, степенная и логарифмическая сводятся к прямой через логарифм, поэтому сильнее учитывают точки с малыми y. Кривая «к пределу» c + a·ebx подбирается перебором b и точным расчетом a и c. R² показывает, какая доля разброса точек объясняется кривой: 1 значит идеально. Когда включено «сама», лаборатория сравнивает все виды по исправленному R²: он снижается за каждый лишний коэффициент, поэтому сложная кривая выигрывает, только если заметно точнее. Прогноз за пределами замеров тем надежнее, чем ближе он к последней точке.