Песочница с гравитацией, трением, ударами, пружинами и канатами: кидай, катай, сталкивай и строй мостики, а законы механики видно в числах.
На поле длиной 25 метров действует тяжесть Земли, Луны или Марса, можно включить невесомость и сопротивление воздуха. С полки ставятся шары, ящики, наклонная плоскость, балка, стена, пушка, пружины, нити и блок. Предметы можно перетаскивать, толкать стрелкой скорости и сталкивать.
Каждые тысячную долю секунды полигон считает силы, разгоняет тела по второму закону Ньютона, проверяет удары и трение. Приборы под полем показывают скорость, импульс и энергию выбранного тела, а после удара, срыва ящика или полета снаряда появляется объяснение с числами из опыта и ссылкой на тему, где это разобрано подробно.
Записи появляются сами: удары, отскоки, броски, срывы и остановки ящиков, периоды маятников и пружин.
| № | t | Событие | Числа | Тема |
|---|
ⓘ Модель учебная и упрощенная: тела не вращаются, шары скользят без трения, ящик сталкивается с наклонной и балкой как круг того же размера, блок без массы и трения. Шаг расчета 1 мс, скорость ограничена 50 м/с, на поле до 30 тел. Выполненные задания и журнал сохраняются в этом браузере.
Все, что происходит на поле, сводится к трем вещам: сила меняет скорость, при ударе сохраняется импульс, а полная энергия убывает только на трение и неупругие удары. Числа под формулами берутся из опыта прямо сейчас.
Как сила меняет движение тела?
Сумма всех сил на тело равна его массе, умноженной на ускорение. Полигон складывает силу тяжести, реакцию опоры, трение, натяжение нити и силу пружины, делит на массу и за каждую тысячную долю секунды прибавляет к скорости a · t.
Что сохраняется при ударе?
Сумма импульсов двух тел до удара равна сумме после: силы удара внутренние и гасят друг друга. Коэффициент восстановления e говорит, какая часть скорости сближения превратится в скорость разлета.
Куда девается энергия?
Кинетическая энергия движения и потенциальная энергия высоты и пружины переходят друг в друга, а их сумма постоянна. Убывает она только на работу трения, сопротивления воздуха, демпфера и на неупругие удары: эта энергия уходит в тепло.
Время делится на шаги по 1 мс. На каждом шаге для каждого тела складываются силы: тяжесть m g, сила пружин по закону Гука k (L − L₀), сопротивление воздуха ½ ρ C S v². По второму закону Ньютона скорость меняется на ΣF / m · Δt, а положение на v · Δt. Это и есть формулы темы 1.1, только примененные много раз подряд.
Если тела касаются или нить натянута, полигон добавляет короткий толчок, импульс J, который не дает им проникнуть друг в друга и не дает нити растянуться. При ударе толчок выбирается так, чтобы скорость сближения сменилась на скорость разлета, в e раз меньшую. Толчки двух тел равны и противоположны, поэтому импульс пары сохраняется сам собой (темы 3.1 и 3.2).
Трение работает по закону Кулона из темы 2.5: пока нужная для покоя сила трения меньше μ N, ящик стоит, а когда больше, он скользит и трение равно μ N. Отсюда предельный угол tg θ = μ и тормозной путь s = v₀² / (2 μ g). Нить держит маятник на окружности, и его период получается близким к 2π √(L / g) из темы 4.1, пружинный маятник дает частоту √(k / m) / 2π из темы 4.2.
| Опыт | Что сохраняется |
|---|---|
| отскок шара, e = 1 | Eк + Eп |
| отскок шара, e < 1 | ничего, теряется доля 1 − e² |
| удар двух шаров | импульс пары, при e = 1 и энергия |
| маятник, пружина без демпфера | Eк + Eп |
| ящик скользит | ничего: Eк уходит в тепло μ m g s |
| полет снаряда без воздуха | горизонтальная скорость и энергия |
| невесомость, без опор | импульс всей системы |
Box2D, PhysX, Havok устроены так же, как полигон: маленький шаг времени, сумма сил, импульсы в точках касания и связи для шарниров и тросов. Разница в том, что они вращают тела, считают сложные формы и тысячи контактов за кадр.
Тренажер машиниста экскаватора или водителя карьерного самосвала считает движение машины, ковша и груза в реальном времени. Оператор учится на ошибках, которые на настоящей машине стоили бы аварии: опрокидывание на уклоне, удар ковшом о борт кузова.
Кусок руды, падающий в кузов самосвала с ковша, бьет по днищу с импульсом m v. Инженеры считают, какую футеровку ставить и с какой высоты можно грузить. Так же проверяют, выдержит ли сетка или отбойник падающий камень.
Груз в кузове на уклоне держится, пока tg θ меньше μ: если нет, он сползет, как ящик на наклонной. Так проверяют крепление груза на трале, предельный уклон для машины на тормозах и откосы отвалов.
Клеть шахтного подъема и противовес на одном канате работают как машина Атвуда: двигатель поднимает только разность масс, а разгон задает a = g (m₁ − m₂) / (m₁ + m₂). Так же устроены лифты и подъемники.
Прежде чем считать сложную машину, полезно проверить себя на простом: куда отскочит шар, где остановится ящик, какой будет период. Если полигон показал не то, что ты ждал, это лучший повод открыть тему и разобраться.
Тела не вращаются: шар не катится, а скользит без трения, поэтому по наклонной он разгоняется с ускорением g sin θ, а не 5/7 g sin θ, как настоящий катящийся шар. Ящик с землей, наклонной, балкой и стеной сталкивается как круг того же размера, с другими ящиками как квадрат, а на рисунке поворачивается по наклону опоры. Трение одно для покоя и скольжения, коэффициент μ задается у ящика. Между шарами трения нет. Удары мгновенные, с постоянным коэффициентом восстановления e.
Нити нерастяжимые и без массы, натягиваются без отскока. Блок без массы и трения. Пружины линейные, по закону Гука, с вязким демпфером c. Сопротивление воздуха квадратичное: плотность 1,2 кг/м³ на Земле и в невесомости, 0,02 кг/м³ на Марсе, на Луне воздуха нет; коэффициент формы 0,47 у шара и 1,05 у ящика. Шаг расчета 1 мс, скорость ограничена 50 м/с. Это учебная модель: для расчета настоящих ударов, падения грузов и устойчивости техники нужны методики и нормы с вращением, деформацией и запасами.