При каком уклоне груз поедет вниз сам? Сила трения, вес на наклонной плоскости и угол трения.
На наклонной плоскости вес mg удобно разложить на две части. Одна прижимает тело к опоре: N = m g cos α. Другая тянет его вниз вдоль склона: m g sin α. Трение покоя подстраивается под любую силу, но не может стать больше μ · N. Пока скатывающая часть меньше этого предела, тело стоит.
Масса в условие не входит: тело держится, пока tg α ≤ μ. Угол φ = arctg μ называют углом трения: круче него тело поедет само. А едущее тело тормозится слабее, чем держалось: трение скольжения обычно меньше трения покоя. Поэтому сорвавшийся груз сразу набирает скорость.
Плюс: вверх по склону, минус: вниз. На первом графике видно ступеньку срыва: трение покоя растет вместе с тягой, а после срыва падает до μск · N. На втором и третьем пунктир φ: угол трения, где тело начинает ехать само.
ⓘ Груз считается жестким бруском, коэффициенты трения постоянными, сопротивления воздуха нет. Стрелки сил в одном масштабе, трение нарисовано по нижней грани. Плоскость на рисунке всегда одного размера, скольжение показано на участке 3 м.
Все три получаются из одного рисунка: груз на уклоне и оси вдоль склона и поперек него, как в теме 2.2 про сложение сил. Числа под формулами из опыта.
Сколько трения может дать поверхность?
Трение покоя равно той силе, которая пытается сдвинуть тело, но не больше μ · N. Когда тело поехало, трение становится постоянным: μск · N, обычно меньше предела покоя.
На какие части раскладывается вес на уклоне?
Прижимающая часть веса равна весу, умноженному на косинус угла, скатывающая на синус. Чем круче уклон, тем меньше прижатие и тем сильнее тянет вниз. При α = 0 весь вес прижимает, при 90° весь тянет вниз.
Поедет ли груз сам и какая нужна сила, чтобы тянуть вверх?
Груз стоит сам, пока тангенс уклона не больше коэффициента трения, то есть пока α не круче угла трения φ = arctg μ. Чтобы сдвинуть его вверх, тяга должна победить и скатывающую силу, и трение.
Направь ось x вдоль склона вверх, а ось y поперек склона от опоры. На груз действуют четыре силы: вес mg вниз, реакция опоры N по оси y, трение Fтр по оси x и тяга F тоже по x. Вес наклонен к оси y на тот же угол α, что и склон к горизонту, потому что стороны этих углов взаимно перпендикулярны.
Поперек склона груз не движется, сумма проекций на y равна нулю: N − m g cos α = 0, отсюда N = m g cos α. Вдоль склона груз стоит, если F + Fтр − m g sin α = 0, то есть трению надо дать Fтр = m g sin α − F. Это возможно, пока |m g sin α − F| ≤ μ · N.
Без тяги (F = 0) получаем m g sin α ≤ μ · m g cos α. Масса и g сокращаются, остается tg α ≤ μ. Когда тянем вверх, трение разворачивается против движения и помогает весу: F = m g sin α + μ · m g cos α. Если груз сорвался, вдоль склона остается сила m g sin α − μск m g cos α, и по второму закону Ньютона ускорение a = g (sin α − μск cos α).
Руду поднимает только трение о ленту, поэтому угол конвейера держат заметно меньше угла трения: обычно не круче 18–20°. Лента провисает между роликами и трясется на них, куски подпрыгивают и скатываются, поэтому нужен запас. Для крутых подъемов ставят ленты с шевронами или бортами.
Сухой песок или щебень сползает, когда кузов поднят на угол трения, около 30°. Влажная глина налипает: ее угол трения близок к предельному углу подъема 45–50°, и часть груза остается в кузове. Поэтому кузова для глины делают с подогревом выхлопом и гладким днищем.
Машина на стояночном тормозе стоит, пока tg α ≤ μ. На сухом грунте это десятки процентов уклона, а на льду лишь 5–10%. Поэтому карьерные дороги делают с уклоном 8–10%, а зимой подсыпают их щебнем: это поднимает μ.
Колодка прижимается к барабану силой N и создает трение μ · N. Тормозной момент равен этой силе, умноженной на радиус барабана, как в теме 2.1. Фрикционные муфты передают момент тоже трением: пока нагрузка меньше предела, диски не проскальзывают.
Резьба это наклонная плоскость, намотанная на цилиндр. У крепежной резьбы угол подъема 2–3°, намного меньше угла трения, поэтому гайка не откручивается сама. Это называют самоторможением. При вибрации трение кратковременно пропадает, поэтому ставят шайбы, контргайки и шплинты.
Клин и упор под колесом держат за счет трения и наклонной грани. Клин с малым углом не выскакивает обратно, как и гайка. Противооткатный упор под колесом карьерного самосвала обязателен при стоянке на уклоне: тормоза могут ослабнуть, а упор держит всегда.
Коэффициенты трения считаются постоянными и не зависят от скорости и площади контакта (закон Амонтона и Кулона). На деле μ зависит от влажности, загрязнения и температуры, а у сыпучего груза еще и от сцепления частиц между собой, поэтому числа в готовых случаях примерные. Груз считается бруском, который скользит и не опрокидывается. Колеса машины заблокированы стояночным тормозом, поэтому держит только трение покоя шин о дорогу. Сопротивление воздуха не учитывается.