Из чего делать кузов, раму, канат и корпус насоса? Карта Эшби на логарифмических осях: двигай линию индекса и смотри, какие материалы легче, жестче или дешевле стали при той же работе.
Сталь прочнее алюминия, но алюминиевый кузов легче стального. Дерево слабее стали, но легкая и жесткая балка из сосны тяжелее не будет. Чтобы сравнивать честно, свойства делят на плотность или цену. Получается индекс материала M: для троса это σ/ρ, для балки, которая не должна прогибаться, E1/2/ρ. Какая формула нужна, зависит от того, как деталь нагружена.
Майкл Эшби придумал рисовать все материалы на одной карте с логарифмическими осями: плотность по горизонтали, прочность или модуль по вертикали. Каждый класс материалов занимает свою область. Индекс на такой карте это прямая линия. Двигаешь линию вверх, и над ней остаются только лучшие материалы для задачи.
※ Области построены по типичным диапазонам свойств классов материалов, цены мировые оптовые, примерные и показаны относительно: литр углеродистой стали принят за 1. Литр алюминиевого сплава стоит примерно столько же, литр титана в 11–25 раз дороже, литр углепластика в 8–16 раз, а литр бетона в 25–50 раз дешевле стали. Для металлов и полимеров прочность это предел текучести, для керамики и бетона прочность на растяжение.
Рецепт один: пишем массу детали, подставляем условие, что она выдерживает нагрузку, и убираем размер, который можно менять. Что осталось из свойств материала, то и есть индекс. Числа под формулами считаются для материала, выбранного в опыте.
Почему для троса важно σ/ρ?
Масса троса это сечение A на длину L и плотность ρ. Сечение должно выдержать силу: A = F / σ. Подставляем, и видно: при заданных F и L масса тем меньше, чем больше σ/ρ.
А для жесткой балки?
Прогиб консоли квадратного сечения a × a: f = 4FL³ / (E a⁴). Задан прогиб, значит a² ∝ 1/√E. Масса m = a² L ρ, поэтому балка легче, чем больше E¹ᐟ²/ρ.
Почему индекс на карте это прямая?
Если M = σa/ρ постоянен, то после логарифма a·lg σ − lg ρ = lg M. На логарифмических осях это прямая с наклоном 1/a. Все точки на ней одинаково хороши, выше нее лучше.
Консоль длиной L нагружена на конце силой F. Прогиб конца f = F L³ / (3 E I). Для квадратного сечения со стороной a момент инерции I = a⁴ / 12, поэтому f = 4 F L³ / (E a⁴).
Прогиб задан конструктором. Выразим сечение: a² = √(4 F L³ / (E f)). Масса балки m = a² · L · ρ = √(4 F L⁵ / f) · ρ / √E. Первый множитель задан задачей и одинаков для всех материалов. Остается ρ / √E: чем он меньше, тем легче балка. Значит, наибольшим надо сделать M = √E / ρ.
Тот же прием для пластины заданной ширины, у которой меняется только толщина t, дает E1/3/ρ. Поэтому на изгиб так выигрывают легкие материалы: у них можно взять сечение толще, а масса растет медленнее, чем жесткость.
Каждая тонна, снятая с кузова, это тонна руды в каждом рейсе. Поэтому кузова делают из высокопрочного листа: при большем σт лист тоньше, а σ¹ᐟ²/ρ выше. Для угля бывают и алюминиевые кузова.
Если родной марки нет, карта сразу показывает, чем ее можно заменить без потери прочности или жесткости и сколько выйдет по массе. Замену все равно сверяют по ударной вязкости и свариваемости.
Стальной канат, синтетический строп из полиэфира или полиамида: сравнивают σ/ρ, но еще стойкость к истиранию, морозу и солнцу. Синтетика легче, но боится острых кромок.
Резина, полиуретан, сталь, керамика. Масса футеровки нагружает привод и подшипники мельницы, а износ зависит от крупности кусков. Резина легче и тише, сталь держит удары крупных кусков.
Для рам, ферм, опор и корпусов масса не так важна, как цена. На карте «прочность и цена» сталь, чугун и бетон обгоняют все легкие материалы. Поэтому мир стоит на стали и бетоне.
Обычно индексов два и больше: легкий, жесткий, недорогой, стойкий к морозу −40 °C. Их проверяют по очереди, оставляя на каждой карте только то, что выше линии. Подробнее о холоде в теме «Ударная вязкость и хладноломкость».
Каждый класс показан эллипсом по типичному диапазону плотности, модуля, прочности и цены, это упрощение настоящих карт Эшби, где области сложной формы. Ранжирование идет по центру области на логарифмической шкале, поэтому лучшие марки класса бывают заметно выше среднего. Для композитов взяты свойства вдоль волокон, поперек они в разы хуже. У дерева тоже свойства вдоль волокон. Прочность проволоки каната это ее временное сопротивление. Цены примерные, оптовые, они меняются в разы со временем и по регионам, поэтому на карте цена относительная, как на настоящих диаграммах выбора материала: литр углеродистой стали равен 1, остальные во столько раз дороже или дешевле. Карта не учитывает износ, ударную вязкость, коррозию, усталость, технологию и ремонт, а для техники рудника это часто главное.